Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

100 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
В случае плоского напряженного состояния в теле, подвергающемся действию сил, приложенных лишь на его поверхности, напряжения могут быть представлены с помощью двух диаграмм *)• Компоненты напряжения определяются при помощи функции напряжений' х формулами:
X __d2X v _^I x — —-1И. (17)
Л----- г-----, * «----,. » Л_у---- -ч ^ » V11/
* V ' д** - dt йу
причем плоскость напряжений принята за плоскость ху, а ^ есть функция от х,у, г.
«W . . <Ь
Если, например, начертить кривые ;-=• = const.xr^ = const, для данного z и длг
дх • «у
различных значений констант, отличающихся друг «т друга на одно и то же число то напряжения, действующие на площадках, параллельных плоскостям (х, z) и (у, z),
направлены по касательной к кривым -^ —consl.,\-^ = const, в данной точке, а
Ъх ву
величины этих напряжений пропорциональны расстояниям между последовательными кривыми соответствующих семейств.
В тех случаях, когда полное графическое представление напряженного состояния невозможно, иногда применяют диаграммы, дающие частичное предстаеление о неД. Сюда относятся чертежи или модели траекторий напряжений, т. е. кривых, которые в каждой точке нормальны к одной из главных плоскостей напряженного состояния. Через каждую точку проходят три т. ких линии, пересекающихся под прямыми углами. Может случиться, что эти линии определяют 'три взаимно ортогональных семейств поверхностей, но в общем случае такие семейства не существуют. Если такие поверхности существуют, то они называются изостатиче-скими поверхностями2); зная их мы можем определить направления главных напряжений в каждой точке. В двухмерных напряженных состояниях изостатическис повеохности всегда существуют.
Распределение напряжений может также изучаться при помощи поляризованного света. Этот метод *) основан на том экспериментально доказанном обстоятельстве, что в изотропном прозрачном теле, находящемся в напряжены >м состоянии, происходит двойное лучепреломление, причем направления главных оптических осей в каждой точке совпадают с главными осями напряженного состояния.
58. Уравнения в компонентах напряжения в ортогональных криволинейных координатах *). Искомые уравнения можно получить,если найти преобразованное
выражение дли \\ X^dS в общем уравнении (1)§44. Согласно уравнениям (5) имеем:
X, = Xх cos (х, v) 4- Ху cos (у, v) 4- Xz cos (z, v) и
cos ( r, v) = cos (a, v) cos (x, o) 4- cos (ji, v) cos (x, j!) 4- cos (f, v) cos (x, f), так что
Xt = 1Хх cos (•*. a) + Xv cos (У> a) + X* cos (z> a)l cos ("' v) H------=
— Xa cos (a, v) 4- X$ cos (p, v) + X, cos (f, v),
<) J. R Mich ell, Proc. Math. Soc., т. 32. London 1901.
2) Эти поверхности впервые рассмотрены Ламе, Journ. de Math. (Liouville), т. 6, 1841 и Lecons sm les coordonndes curvilignes. Тот факт, что они существуют не всегда, указал Б у ее и и ек, С. К., Paris, т. 74, 1872. Ср. Wein garten, Journ. f. Math. (CfeUe), т. 90, 1881.
»)Этот метод впервые предложил D. Brewster, Trans. Roy. Phil, Soc., 1816. Его развили F. E. Neumann, Berl. Abh., 1841 и Maxwell, Trans. Roy. Soc., Edtn-bourgh.T, 20,1853 или Scientific Papers, т. I, стр. 30. Относительно новейших экспериментальных исследований см. J.Kerr, Phil. Mag. (сер. 5). т. 26, 1888. Можно указать также М. Е. Mascart, Traitd d'Optique, т. 2, Paris 1891, стр. 229 и ел. Метод разрабатывался многими физиками, среди которых можно, указать Е. Q. С о k е г, Phil. Mag. (сер. 6), т. 20, 1909, стр. 740 в Proc. Roy. Soc., London (сер. А.\ т. 86. 1912, стр.86 и L. N. Q. Filon, Phil. Meg:(сер. 6), т. 23,1912, стр. 1. Дальнейшие справки в статьях Filon и Coke г, Brit.Assoc. Rep., 1914, стр. 201. Улучшенный метод описал Filon, Brit. Assoc. Rep., 1919, стр. 475 и 1923, стр. 350.
*) Другие методы получения этих уравнений будут даны в § 116 и в приложении .О примененви подвижных осей* в конце книги.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика