Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Люстерник Л.А. Кратчайшие линии
 
djvu / html
 

а так как
то
Итак, приращение длины ^ отрицательно. Кривая q перешла в другую кривую qv меньшей длины, ограничивающую ту же площадь. Значит, q не есть кривая, обладающая наименьшей длиной среди кривых, ограничивающих данную площадь.
Отсюда вывод: кривая наименьшей длины среди кривых, ограничивающих данную площадь, есть окружность *).
4. Изопериметрическая задача на поверхности. Аналогичные задачи можно рассматривать и на поверхности, только всюду роль кривизны играет геодезиче-
ская кривизна Г = • • • '^ у . Например, если малая дуга CD
кривой q с геодезической кривизной Г= заменяется
близкой дугой CA'D, причем площадь, заключенная между CD и CA'D, равна Д/7, то приращение Д/ длины, которое получает кривая при замене CD дугой CA'D, выразится:
Повторяя доказательство предыдущей теоремы, но с заменой всюду кривизны геодезической кривизной, получим теорему.
Среди всех замкнутых кривых на поверхности, ограничивающих данную площадь, наименьшую длину имеет кривая постоянной геодезической кривизны (на поверхности шара такими линиями являются большие и малые круги).
Примечание. На поверхности шара, как и на плоскости, кривая постоянной геодезической кривизны есть геодезическая окружность.
На других поверхностях кривые постоянной геодезической кривизны не являются вообще геодезическими окружностями.
') Целый ряд других доказательств изопериметрических свойств окружности приведен в книге Д. А. Крыжановского, Изопери-метры, максимальные и минимальные свойства геометрических фигур в общедоступном изложении, М. — Л., ОНТИ, 1938; см. также Л. А. Люстерник, Выпуклые тела, изд. 2-е, М. — Л., Гостех-издат, 1941.
80

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100


Математика