Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Люстерник Л.А. Кратчайшие линии
 
djvu / html
 

шара. Большой круг есть геодезическая линия на поверхности шара.
В самом деле, нормалями к поверхности шара в ее точках являются радиусы шара. Радиусы в точках большого круга лежат в плоскости этого круга. Мы имеем случай плоской кривой на поверхности, в точках которой нормали к поверхности лежат в плоскости этой кривой. А мы только что убедились, что такая плоская кривая есть геодезическая.
Если мы рассечем шар плоскостью QJ, не проходящей через центр шара, то получим малый круг на поверхности шара. Так как нормали к поверхности шара (т. е. радиусы шара) в точках малого круга не лежат в плоскости малого круга, то малый круг не является геодезической линией на поверхности шара.
Резиновая нить, туго натянутая по дуге большого круга, будет находиться в состоянии равновесия. Если же ее натянуть по дуге малого круга, то она соскользнет с этой дуги, так как не будет находиться в ней в состоянии равновесия.
Теорема Иоганна Бернулли. Кратчайшая из всех линий, соединяющих две точки на поверхности, есть дуга геодезической линии.
Мы уже обладаем доказательством теоремы Бернулли. В самом деле, с одной стороны, мы доказали, что линии, по которым располагаются натянутые на поверхности нити, находящиеся в состоянии равновесия, суть геодезические. С другой стороны, мы знаем, что резиновая нить на поверхности, закрепленная в точках А и В на ней и расположенная по кратчайшей линии, соединяющей эти точки, находится в состоянии равновесия (ряд других элементарных доказательств этой теоремы приведен в книге М. Я. Выгодского, Дифференциальная геометрия, М.—Л., Гостех-издат, 1949).
Примечание. Проведем через две точки А и В на поверхности шара большой круг q. Точки А и В делят его на две дуги
(черт. 60): дугу АМВ и дугу ANB. Обе эти дуги—геодезические, соединяющие точки А и В. Пусть дуга АМВ короче дуги ANB. Тогда, очевидно, АМВ есть кратчайшая дуга на поверхности шара,
соединяющая точки А и В, дуга же ANB, хотя и является геодезической, все же не будет кратчайшей дугой на поверхности шара, соединяющей точки А и В. Резиновая нить, натянутая на поверхности шара по любой из этих дуг, будет находиться в состоянии
,60

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100


Математика