Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях
 
djvu / html
 

240 ГЛ. IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Установив это, допустим, что существует k интервалов Бэра 8j, 83, ...,8ft попарно без общих точек и таких, что, как бы велико ни было f. производное порядка f от Fy эффективно содержит точки в каждом из этих интервалов, если только у выбрано надлежащим образом. Мы докажем, что в этих условиях существует в каждом 8^ два интервала Бэра 8< и 8f без общих точек и таких, что система из 2ft интервалов 8Ь 81} ..., 8*, 8* обладает тем же свойством.
В самом деле, на основании свойства интервалов 81( .. . ,8Й, как бы велико ни было •(, можно найти точку у такую, что производное множество порядка f от Fy содержит по крайней мере две различные точки Xi и Х{ в каждом 84. Заключим эти точки Xi и xi в два интервала Бэра 8$ и 8< без общих точек и содержащихся в 8^. Так как существует лишь счетное множество систем интервалов 8$ и 8»-, /== 1, 2, ..., k, и так как трансфинитных чисел f несчетное множество, мы заключаем, что существует система из 2k интервалов Бэра 8i, 8"i • • • > ^> &%, обладающая указанным свойством.
Из предшествующего мы заключаем, что на $х существует такое совершенное множество Р, что каково бы ни было п, совершенное множество Р содержится в 2й интервалах Бэра попарно без общих точек 81, 82, ..., 82п таких, что каждый из этих интервалов эффективно содержит точки замкнутого множества Fy при надлежаще выбранном у. Кроме того, порядок интервалов Бэра 8^ 82,..., 82» можно предполагать как угодно высоким.
Так как/(лг) непрерывна на g^ отсюда следует, что/(дг) постоянна на Р. В самом деле, в противном случае мы имели бы две точки Р, xi и д:2, такие, что f(x:) ?=/(*2). Эти две точки заключены в двух различных интервалах 8^ и bj системы 8±, 8а, ..., 8а». Так как длина этих интервалов стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает, то отсюда следует, что множества значений f(x) на 84 и 8,,- не имеют общей точки. Но это невозможно, так как множество Fy для некоторого у имеет точки в 84 и 8^ одновременно.
Таким образом мы приходим к заключению: если индексы остановки о.у неограничены, то существует точка у, для которой множество .Fy несчетно, а следовательно, функция / (х)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350


Математика