Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях
 
djvu / html
 

230 ГЛ. IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Установив это, обозначим через Н общую часть S и S'; множество Н измеримо В. Так как Н есть часть §, то проекция Н на g ^ ... хт принадлежит к Е. С другой стороны, какова бы ни была точка M(xt, ..., хт) из Е, точка из §'
удовлетворяет уравнениям системы (I); следовательно, эта точка принадлежит к §, а значит, и к Я. Отсюда следует, что проекция Н на &х .,. х совпадает с Е.
Из самого определения множества Н следует, что двум различным точкам из Н соответствуют две различные точки его проекции Е. Отсюда мы заключаем (стр. 166), что Е измеримо В, что противоречит гипотезе. Ч. т. д.
Таким образом, мы убедились, что в случае, когда область существования Е неизмерима В, невозможно выбрать однозначное решение yv y%, ..., ур, составленное из функций классификации Бэра. Это, однако, нисколько не препятствует тому, чтобы в однозначном решении какая-либо одна из неявных функций yi была функцией классификации Бэра.
Исследования Лебега. Мы обязаны Лебегу первыми исследованиями о тождестве двух семейств функций: функций, определенных аналитически явным образом (у = аналитическому выражению от xlt л:2, . . ., хт) и функций, определенных аналитически неявным образом (аналитическое выражение от xlt л:2, . . . , хт, у равно нулю). Обычно эти две категории функций не различают, так как на практике тот самый процесс, который доказывает существование неявной функции, дает и ее разложение; но тождество двух семейств не очевидно.
Лебег рассмотрел случай, где каждой системе чисел, xlt л:2, . . . , хт соответствует не более одной системы чисел у^Уъ, ...» ур, удовлетворяющих предложенным уравнениям (I), и указал следующие два закона, имеющие место в этом случае:
(Lj) Область существования Е неявных функций у^у?., ... . . . , ур есть множество, измеримое В;
(Lg) Каждая неявная функция yi совпадает на ? с некоторой однозначной функцией «<(*,, дг2, ..., хт), входящей в классификацию Бэра и всюду определенной.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350


Математика