Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях
 
djvu / html
 

150 ГЛ. III. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
исследуем свойства аналитических множеств по отношению к этим вопросам.
Мощность. Пусть Е есть несчетное аналитическое множество, расположенное в /re-мерной области. Пусть § есть элементарное множество в /re-J-1-мерном пространстве, причем его ортогональная проекция есть данное множество Е.
Так как диаметр параллелепипеда Бэра порядка к стремится к нулю, когда я неограниченно возрастает, то существует целое положительное число п, достаточно большое для того, чтобы среди параллелепипедов ранга п (стр. 141) нашлось два параллелепипеда it и it', обладающих следующими двумя свойствами: 1° проекции тг и -к' не имеют общих точек; 2° проекции частей §, содержащихся в it и в тс', являются обе несчетными множествами.
Раз так, то мы находимся в тех же условиях, как и раньше, и мы можем определить в каждом из двух параллелепипедов тс и тс' двз новых параллелепипеда ранга выше п, обладающих теми же свойствами; мы получаем, таким образом, четыре вполне определенных параллелепипеда. Мы продолжаем оперировать также над каждым из них и получаем восемь определенных параллелепипедов, обладающих теми же свойствами, и так далее безгранично.
Ясно, что множество точек, каждая из которых принадлежит бесконечному множеству параллелепипедов Бэра, так определенных, есть совершенное множество в классическом смысле, и притом содержащееся в данном элементарном множестве §. К тому же проекции двух различных точек этого совершенного множества всегда различны.
Отсюда следует, что проекция этого совершенного множества есть опять совершенное множество в классическом смысле. А так как это последнее, очевидно, содержится в данном аналитическом множестве Е, то мы получаем теорему:
Всякое несчетное аналитическое множество необхо* димо содержит совершенное множество и, следовательно, имеет мощность континуума1).
Мера. Пусть Е — произвольное аналитическое множество, о котором известно только, что оно имеет внешнюю меру, не равную нулю, теЕ > 0.
1)?Теорема Суслика. См. Comptes Rendus, ^января 1918 г.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350


Математика