Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях
 
djvu / html
 

130 ГЛ. II. ИССЛЕДОВАНИЯ О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ В
Чтобы в этом убедиться, мы проведем в области 0'/>а, диагональ x = t и обозначим через i\ множество точек этой -диагонали, не принадлежащих к Е.
Пусть е — проекция i\ на ось ОХ. Мы начнем с доказательства того факта, что е не может быть получено в результате пересечения Е какой-либо прямой х = х0, параллельной оси ОХ.
В самом деле, пусть t0 — точка области gt такая, что прямая t = t0 пересекает Е по е. Рассмотрим точку М диагонали, лежащую на прямой t = tQ. Возможны два случая.
В первом случае точка М принадлежит к Е. Так как прямая t = t0 пересекает Е по е, то проекция N точки М принадлежит к е. С другой стороны, е есть проекция множества i\, состоящего из точек дополнения СЕ, принадлежащих диагонали. Значит, М принадлежит к СЕ, что противоречит предположению.
Во втором случае точка М принадлежит к СЕ. В этом случае проекция N точки М принадлежит к е. Но множество е есть проекция точек Е, лежащих на прямой t = t0. Значит, М принадлежит к Е, и мы опять получили противоречие.
Установив это, покажем, что определенное нами множество Е принадлежит классу /Са. В силу самого определения Е всякое линейное множество класса < « может быть получено в результате пересечения Е прямой t = t0, параллельной оси ОХ. Если бы множество Е было само класса < а, то это имело бы место и для пересечения Е с диагональю х = t. При этих условиях множество ч\ было бы класса < а, так же как и его проекция е на ось ОХ. Тогда множество е можно было бы получить, пересекая Е некоторой прямой t = t0, что заведомо невозможно.
Итак, множество Е — строго класса а и, следовательно, существуют множества всех классов.
Читатель заметил, что в этом доказательстве мы исходили из некоторого частного (однако, произвольного) пересчета всех трансфинитных чисел, меньших а при помощи целых положительных чисел. Этот пересчет вошел в последовательность (1):
?], f2, ...,§„,..., (1)
состоящую из универсальных элементов всех классов, пред-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350


Математика