Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

гдеш', со; по-прежнему будут линейными формами относительно
дифференциалов независимых переменных du*. Однако форму-
лы (1.3) теперь не имеют места и уравнения (1.4) не существуют.
, 5. Линейный элемент пространства. Введем обозначения
для скалярных произведений базисных векторов; по геометрическому смыслу скалярного произведения величина gy равна
произведению модулей векторов ег, е, на косинус угла между ними. С другой стороны, возвышая в квадрат обе части первого уравнения (1.9), получим в левой части квадрат линейного элемента пространства
ds2 = (dM)2.
В правой части, пользуясь правилом возвышения в квадрат многочлена (сумма квадратов и удвоенных произведений всех членов 'многочлена), получим в обозначениях (1.10)
г _^ ^ _^ •
ds2 = (е^2 (w1)2 + . . . + Зе^ со'ш2 + . . . = = ёп О»1)2 + g« К)2 + ?зз Ю2 + 2g12 «о1 »'2 +
+ %„<**«>* + 2gnuW. (1.11)
Короче это записывается в виде
/ dsa = ^y(«V. (1. 12)
Эта формула и предыдущие справедливы и для n-мерного пространства, когда I, I пробегают значения 1,2, . . ., п.
В формуле (1.12) имеется две пары одинаковых индексов t и /, каждое суммирование выполняется самостоятельно; при этом для каждой пары неравных чисел, например 1 и 2, будут два члена: один для i = 1, / = 2, другой для i = 2, j = 1; в силу симметрии (1.10) коэффициентов g/,- эти два члена равны. Отсюда в развернутой сумме (1.11) все члены с различными индексами i =?fe у входят с коэффициентом 2. Аналогично подсчитывается скалярное произведение двух векторов
X = Х''е„ Y = Y'e,..
Перемножая по правилам скалярного умножения векторов, получим
^X'yv. (1.13)

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика