Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

метров (х1) полярную систему координат с началом в точке А посредством уравнений
ж' - Ио = ta', (3. 19)
где t — новая, существенно положительная координата. Параметры а1 принимают любые значения, удовлетворяющие условию
(а1)2 + (а2)3 + .. . . + (а")2 = 1; (3.20)
для всякой системы значений а' точка (х') описывает при изменении t полупрямую, выходящую из точки А; все полупрямые заполнят n-мерное пространство. Эти прямые теперь будут представлять собой непрерывное семейство путей (3.11). После замены dxl на a1 dt и dxn+a на dz" получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
- = Z-(flM,z?) (3.21)
с начальными значениями
Z« = (2* )„ ДЛЯ t = 0.
В полученном решении мы можем положить t = 1 и считать а' произвольными величинами, не связанными условием (3.20). Внося вместо а1 значения (3.19), получим уравнение интегрального многообразия V.
Полученные значения неизвестных функций z" в каждой точке (х1) односвязной области составляют решение системы (3.1).
Действительно, произвольную точку М этой области можно соединить путями с точками М' ее окрестности так, чтобы совокупность касательных к этим путям в точке М совпадала со всей связкой прямых в точке М пространства (х'). Так как значения (г* ) получались интегрированием системы (3.1), то значения (za), (dz? ) вдоль этих путей удовлетворяют системе (3.1). В частности, в точке М значения (z« ), (dz* ), (xl), (dxl) соответствуют точке М и любой касательной из этой точки. Следовательно, можно рассматривать dx' как. вполне произвольные величины (дифференциалы, независимых переменных), a dz" — как полные дифференциалы функций (г" ). Они удовлетворяют системе (3.1); следовательно, (г") составляют решение вполне интегрируемой системы (3.1), соответствующее начальным значениям
г- = (2* )„ для. х1 = (х%.
19. Первые интегралы вполне интегрируемой системы.
Рассмотрим вполне интегрируемую систему
6а=0 (а=1,...,г). (3.22)
30

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика