Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

выше первого, если принимать за основную бесконечно малую расстояние ММ'. Мы покажем что при параллельном переносе вдоль дуги геодезической ММ' перенос посредством симметрии дает результат с точностью до бесконечно малых третьего порядка.
Заметим, что при использовании ортогонального репера (R), присвоенного нормальным координатам, параллельный перенос вдоль геодезической, проходящей через точку О, не будет менять компоненты вектора относительно этих реперов (R); но компоненты вектора — не что иное, как формы ш'(я, dx), где надо дать дифференциалам dx1 числовые значения компонентов X1 вектора, отнесенного к натуральному реперу с тем же началом, присвоенному нормальным координатам.
Тогда совершить перенос посредством симметрии относительно точки О — значит перейти от величин ' (—х, dx). Пользуясь разложением (26.16), мы получим
со' (х, dx) — со* (—х, dx) = ~ ЯД„, s xrx*x»dx*. (27.1)
Поскольку dxh имеют конечные значения (компоненты вектора
X), порядок малости правой части определяется тремя бесконечно малыми множителями xr, xk, х3.
Каким условиям должно удовлетворятьриманово пространство, чтобы перенос посредством симметрии давал построение параллельного переноса вдоль геодезической с точностью до бесконечно малых четвертого порядка?
Нам надо потребовать, чтобы кубическая форма
Fv = RrtknJfx*x* (27.2)
была тождественно равна нулю. Это выразится через некоторое число линейных с постоянными коэффициентами соотношений между компонентами производного тензора от тензора Римана — Кристоффеля. Ясно, что при заданном геометрическом значении этих соотношений они не зависят от выбора реперов. Мы воспользуемся этим замечанием, а также тождествами Бианки
R№ i т + RU?I i«. + Rth* i p == 0.
Заметим, что компоненты Ri/kh 11 преобразуются при замене реперов, как произведение
XlYjZkTkUl
компонентов пяти произвольных векторов. Рассмотрим теперь простое инфинитезимальное вращение репера параллельно плоскости двух базисных векторов ег, е^.
270

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300


Математика