Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

если поверхность не вырождается в плоскость. Следовательно, вдоль асимптотической
ш'=0,
т. е. равна нулю геодезическая кривизна, а поскольку нормаль-
ная кривизна уже равна нулю, то — = 0, и линия — геодезиче-
Р екая. Таким образом, в пространстве постоянной кривизны вся-
кая развертывающаяся поверхность — линейчатая. Это заключение не имеет места в общем случае: можно найти развертывающиеся поверхности нелинейчатые.
Задача 2. Существуют ли поверхности с тождественно равной нулю формой Лагерра х = О?
Отметим просто свойство такой поверхности: все ее геодезические — линии постоянной кривизны.
Задача 3. Найти поверхности, для которых тензор (а^) тождественно равен нулю, т. е. такие поверхности, что эйлерова кривизна их сохраняется при параллельном переносе по поверхности (касательном).
Нормаль к поверхности .будет главным направлением пространства, поскольку теперь
Вернемся к уравнениям (24.17)
dou + 2au«' = 0, (24.27)
<&12 + («22 - flfu) «>S = 0. (24.28)
2an^2 = Q. (24.29)
Мы .можем предположить ai?=? О, что означает приведение второй квадратичной формы к алгебраической сумме квадратов. Тогда равенства (24.27) и (24.29) показывают, что главные кривизны аи и О22 будут постоянными; равенство (24.28) принимает вид
(аа2 - аи) (о' = 0.
Отсюда: или ац= 022, т. е. главные кривизны равны и поверхность имеет только омбилические точки ( - = - \ , или со? =
V /?! Я, / ' ' '
= 0 и
as* = ах2 + ау\
т. е. поверхность налагается на плоскость (линейный элемент плоскости).
240

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300


Математика