Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

Вполне геодезическая поверхность обладает следующим11 тремя свойствами, которые эквивалентны.
Во-первых, она имеет в каждой своей топке нулевые главные кривизны.
Во-вторых, единичный вектор нормали к поверхности остается нормальным при произвольном параллельном переносе вдоль поверхности.
В-третьих, всякий вектор, касательный к поверхности, остается касательным при произвольном параллельном переносе вдоль поверхности.
Второе свойство — непосредственное следствие первого, которое в свою очередь будет следствием второго. Что касается второго и третьего, то они, очевидно, эквивалентны друг другу.
Покажем, что третье свойство характеристично для вполне геодезической поверхности; отсюда будет следовать, что каждое из двух первых также характеристичны для этих поверхностей.
Предположим, что всякий касательный вектор к заданной поверхности (S) остается к ней касательным при параллельном переносе, когда его вершина описывает произвольную кривую на поверхности. Отсюда следует, что ускорение точки, которая описывает любую линию на поверхности, всегда касательно к поверхности. Если выразить координаты поверхности в функциях двух параметров а, р, то достаточно двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно а, р\ чтобы выразить; что ускорение подвижной точки равно нулю; следовательно, на поверхности существует геодезическая (пространства), проходящая через произвольную точку этой поверхности и имеющая в этой точке произвольное касательное к поверхности направление. Проверка подсчетом не затруднительна. •
130. Развертывание на плоскость линий вполне геодезической поверхности. Другое замечательное свойство вполне геодезической поверхности следующее: всякая линия вполне геодезической поверхности при развертывании на евклидово пространство становится плоской.
Действительно, поскольку абсолютный дифференциал единичного касательного вектора сам будет касательным вектором поверхности, главная нормаль будет касательной к поверхности; единичный вектор бинормали будет, следовательно, нормален к поверхности, и его абсолютный дифференциал равен нулю; значит, кручение кривой равно нулю. При развертывании кривая, имеющая нулевое кручение, становится плоской линией,
Обратное предложение тоже справедливо. Предположим, что кручение каждой линии на поверхности равно нулю, или,, что сводится к тому же, что скорость, ускорение первого порядка и ускорение второго порядка точки, произвольно двигающейся
200

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика