Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

Например, чтобы написать контравариантные компоненты ускорения 7* в натуральном репере с координатами (и1), заметим, что в силу (12.12), (12.13), (12.14) скорость будет
<Ш *>' ~* dul ~ . dul
v = - = — - е, = - е,., и1 = - . dt dt l dt ' dt
Прилагая формулу (13.1) к компонентам v' и учитывая (12.13), имеем
dvl d?ul , duk i d^u1 duk w duh
L kh
dt dt* dt dt* dt dt
И
d?t? w duf1 duf1 ,.o ~.
Точка, двигающаяся с ускорением, все время равным нулю, имеет скорость, постоянно эквиполентную самой себе. Те линии риманова пространства, у которых касательная все время остается эквиполентной самой себе называются геодезическими (прямейшими) линиями пространства. Если такая линия пробегается с постоянной скоростью, равной единице, то ускорение равняется нулю. Отсюда уравнения геодезических линий в римановом пространстве
, т,г duk duh п ,.п „,
Это система Коши для неизвестных функций и1 и независимого переменного t. В условиях теоремы Коши она допускает решение, и только одно, при начальных условиях
j,.fe
"' = Ив. -^т = Ив Для t = /0; (13. 7)
dt
(u')0, (vk)0 — постоянные.
Отсюда теорема: через всякую точку в области регулярАо-сти риманова пространства, по всякому направлению проходит одна и только одна геодезическая, ибо первое уравнение (13.7) определяет начальную точку пространства, а второе — начальную скорость.
70. Обобщение формул Френе. Кривизна н .кручение линии. Теория кривизны линий без изменения переносится из евклидова пространства в произвольное риманово пространство;
Действительно, пусть М — точка кривой, Т — единичный вектор касательной в точке М, as — элемент дуги кривой.
110

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика