Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Риманова геометрия в ортогональном репере
 
djvu / html
 

Вместо того чтобы говорить: мы снабжаем рассматриваемое многообразие новой метрикой (евклидовой), можно сказать: мы отображаем риманово пространство на евклидово так, что в этом представлении линейный элемент евклидова пространства будет da2. Это евклидово пространство будем называть евклидовым пространством, касательным в точке А к заданному риманову пространству. Это условный знак, удобный потому, что он дает наглядность.
Можно сказать, что существует бесконечное множество евклидовых пространств, касательных в точке А, в том смысле, что линейный элемент do2 зависит от бесконечного числа произвольных параметров, но, поскольку мы будем рассматривать в дальнейшем только геометрические свойства, общие всем этим пространствам, мы можем смело говорить об одном евклидовом пространстве, касательном в точке А.
64. Касательное евклидово пространство. Первое геометрическое понятие, которое влечет за собой рассмотрение касательного евклидова пространства, будет понятие расстояния между точкой А и точкой бесконечно близкой — расстояния, равного do или ds, — это то понятие, которое лежит в основе определения риманова пространства
1°. Угол двух направлений (du1) и (Ъи1). В касательном евклидовом пространстве значение косинуса угла двух векторов
X и Y получается из скалярного произведения X • Y, которое совпадает с коэффициентом при 2Л, в разложении квадрата суммы
(X + XY)2 = Xz + 2XXY + X2Y2;
в римановом пространстве надо рассмотреть произведение gtj (du1 +
Следовательно, искомый косинус угла будет
cos cp = (12.3)
• as 6s
Мы можем быть заранее уверенными, что правая часть этого равенства не зависит от выбора системы координат, ибо именно по этой формуле определяется угол двух направлений в касательном евклидовом пространстве с метрикой do8.
Можно так же определять угол между р-мерным плоским элементом и (/-мерным плоским элементом и т. д., если они имеют общую вершину.
100

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика