Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

80 ВНЕШНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
формы Q не имеют производных, и все же мок но определить внешнюю производную форму и'. Классический пример дает нам теория потенциала.
Рассмотрим материальный объем У, ограниченный поверхностью S; пусть Q — плотность материи в произвольной точке объема V; мы предположим, что функция Q непрерывна. "Потенциал U этой массы представляет собой функцию, непрерывную во всем пространстве и всюду допускающую непрерывные производные первого порядка. Существует теорема, касающаяся этой функции (теорема Гаусса), которую можно выразить формулой:
причем двойной интеграл распространяется по любой замкнутой поверхности, а тройной — по объему, ограниченному этой поверхностью. Отсюда следует, что если положить
в=ъ№<Ц + %№*х} + %[<ы1у],
то можно определить внешнюю производную ?2' от Q так:
Если функция U допускает частные производные второго порядка, то это равенство будет следствием классической формулы Пуассона, потому что операция диференцирования, определенная выше, дает непосредственно
Но если функция U не имеет частных производных второго порядка, — л в общем случае это так, еели не делать дополнительных предположений относительно функции Q, — то и тогда оказывается возможным определить производную Q' '. '
Таким образом, возникает возможность определить внешнее диферен-цирование как операцию самостоятельную, не связанную с классическим диференцированием. При этом можно было бы доказать непосредственно формулу предыдущего пункта
где относительно Q и ж предполагается лишь, что они имеют внешние производные.
75. Рассмотрим простейший случай линейной формы от двух переменных
со = р дх + Q ду,
допускающей внешнюю производную

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика