Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

8 ВВЕДЕНИЕ
1
является геометрическим местом положений, занимаемых подвижной
точкой на этих траекториях в один и тот же момент t, то этот интеграл не будет зависеть от t; это — интегральный инвариант по терминологии А. Пуанкаре. Обратно, есть очень простой способ возвра-
титься от интегрального инварианта / Pdx + Qdy + R dz Пуанкаре
к соответственной инвариантной форме Pdx + Qdy+ R dz + Hdt.
Эти исследования не ограничиваются линейными диференциальными формами. Всякая диференциальная инвариантная форма, которая может быть помещена под знаком интеграла, простого или кратного, порождает интегральный инвариант в смысле А. Пуанкаре, если опустить члены, которые содержат диференциал (или диференциалы) независимой переменной 1).
Таким образом, величина под знаком интеграла в интегральном инварианте Пуанкаре есть не что иное, как усеченная диференциальная инвариантная^ форма. Инвариантный характер дополненного интеграла сохраняется, если он распространяется на какую-либо совокупность положений, одновременных или нет.
Это сближение двух понятий — интегрального инварианта и диферен-циальной инвариантной формы — влечет за собой многочисленные следствия. Прежде всего, все свойства, относящиеся к образованию интегральных инвариантов, к выводу одних 'инвариантов из других, становятся очевидными. То же можно сказать о применении к интегрированию диференциальных уравнений.
Следует отметить другое следствие, относящееся к принципам механики. А. Пуанкаре показал, что общие уравнения динамики о'бла-дают тем свойством, что они допускают линейный (относительный) интегральный инвариант, а именно ,г v
... + pndqn, (1)
где q и р обозначают канонические переменные Гамильтона (Hamilton). Если дополнить диференциальное выражение под знаком интеграла, интегральный инвариант принимает вид
/Pi <%
.-• + Рп 8qn -И & (2)
где Н — функция Гамильтона. Таким образом наряду с количествами движения (ръ . . . , рп) рассматриваемой материальной системы появляется ее энергия Н. Выражение под знаком .интеграла приобретает, в связи с этим, исключительно важное механическое значение; ему можно дать название тензора „количества движения — энергии" 2). Элемен-
*) Р. Харгревс (R. Hargreaves) в статье, помещенной в Transactions of the Cambridge Philosophical Society,'?. XXI (1912 г.) уже рассматривал интегралы, содержащие диференциал независимой переменной; но его точка зрения совершенно отлична от принятой нами, и независимая переменная у него всегда играет особую роль.
2) Указанное выражение получается совершенно естественно при вычислении вариации интеграла действия Гамильтона; это отмечалось уже неоднократно. Впрочем, этим же путем оно вводится и в нашем курсе.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика