Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

50 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Для того чтобы система диференциальных уравнений допускала форму Ф в качестве инвариантной формы, необходимо и достаточно, чтобы функции ylt . . . , уг были первыми интегралами этой системы.
Достаточность условия очевидна. Чтобы доказать его необходимость, рассмотрим систему диференциальных уравнений, для которых Ф служит инвариантной формой, и напишем уравнения этой системы, взяв в качестве новых переменных y\,-.-,Jr и п — г иных независимых величин yr+i, . . . , уп. Пусть будут
v v — ••• \г — v '"' V *• '
У1 У2 *г ГГ+1 УП
уравнения преобразованной системы. Если бы yi,...,yr не были все первыми интегралами, то первые г знаменателей Уг, К2, ..., Yr не были бы одновременно нулями; пусть, например УТфЪ. Тогда ут можно взять в качестве независимой переменной, и форма Ф не будет менять значения, если заменить ут и дуг нулями, далее, функции
У1, ••••, Уг-i, yr+i, .-•, Уп
— их начальными значениями
Уь • • • » У°-ь Уг+1> . • • > Уп,
рассматриваемыми как первые интегралы системы (2); и, наконец, ди-ференциалы
дуг, .... дуп
— диференциалами
Но тогда, поскольку Ф не содержит ни yr+i, ..., уп, ни их дифе-ренциалов, и вновь полученная форма У будет зависеть только от y°i,..., y?_i и их диференциалов. Иными словами, при этих условиях можно будет найти г —1 таких функций Zi,..., zr-i от Xi, что форма Ф выразится с помощью этих г—1 функций и их диференциалов. Но этот результат противоречит сделанному предположению. Число г назовем классом формы Ф.
Характеристическая система дифереициальной формы.
41. Доказанная исключительно общая теорема имеет важные следствия, которые помогут лучше понять ее значение.
Наиболее общей системой диференциальных уравнений, для которой форма Ф/ является инвариантной формой, будет (в переменных ylt ..., Уп), на основании предыдущего, следующая:
о ^ о — • • • — о — Тг+1 = • • • ~ уп> (3)
где У,ц-1>..., Уп — произвольные функции.

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика