Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

30 ДВУМЕРНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ДИНАМИКИ
между собою. Это выражение, которое мы обозначим со' (d, д), обладает тем свойством, что оно равняется нулю всякий раз, когда символ d определяет в пространстве состояний элементарное перемещение в направлении траектории, тогда как символ д определяет' произвольное элементарное перемещение. Впрочем, выражая это свойство, мы и получили соотношения между dqlt dq.2, ..., dpn, dt, определяющие диференциальные уравнения траекторий или, с другой точки зрения,
диференциальные уравнения, допускающие интегральный инвариант / к>ц.
Рассмотрим теперь более общий случай: пусть имеются два любых элементарных перемещения, определяемых двумя символами диферен-цирования д и д'; попытаемся найти значение билинейной формы о)'(д, б'). Для этого представим себе непрерывную двумерную совокупность состояний; такую совокупность можно осуществить, взяв qi, Pi и t как функции двух параметров а и /f; каждое состояние совокупности может быть изображено на плоскости точкой с координатами (а, (8), а вся совокупность изображается некоторой площадью. Символы д и д' будут соответствовать приращениям одного а и одного fi, соответственно. Рассмотрим, далее, в пространстве состояний четыре состояния А, В, С, D, соответствующие значениям параметров
а, ft,
а + <4 ft,
а, ft+d'ft,
а+да, ft + d'ft,
и составим интеграл / со, взятый по замкнутому контуру ABDC. Очевидно, имеем
/С Г Г
= cog', I — coj>', I =ео,5-{-о'соа; / =сор-4-<5со,
«/ V J
AC CD . BD
и, следовательно,
/•
ABDO
18. Билинейная форма со' (д, д'), которая в итоге зависит от произвольного состояния и от двух состояний бесконечно близких, дает,
на основании предыдущего, значение интеграла / (а, взятого по замкнутому контуру; поэтому она является инвариантом для системы ди-ференциальных уравнений траекторий, в том смысле, что она не меняет значения при перемещении каждого из состояний вдоль соответствующей траектории. Эта форма является также элементом двойного интеграла: если, например, рассматривать рг и qt как координаты точки на плоскости (зависящие от двух параметров а и /3), то выра« жение дрг d'fo — dqv д'рг даст элемент площади на этой плоскости, отне-

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика