Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

140 УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ АБСОЛЮТНЫЙ и НТЕГРАЛЬН. ИНВАРИАНТ
Всякий однозначный процесс, позволяющий, исходя из со' и р первых интегралов уг, . . . , ур, получить новый первый интеграл посредством операций, имеющих смысл независимо от выбора переменных, необходимо приводит к первому интегралу, инвариантному по отношению к наиболее общей группе преобразований, сохраняющих со', У!» • • • , УР- Но единственными функциями, инвариантными по отношению к этой группе, будут, очевидно, произвольные функции от ylt . . . , ур.
Обобщение теоремы Пуассоиа-Якоби.
128. Теорема Пуассона-Якоби немедленно обобщается, если вместо двух первых интегралов известны две линейные инвариантные формы ы^ и о>2. Функция а, определенная равенством
п[со'п- 1ы1ы2} = а [о»'"],' (4)
очевидно, будет первым интегралом; она сводится к (у\у^, если (ог и о>2 являются диференциалами двух первых интегралов у1? у2.
Применим это замечание к случаю, когда характеристические уравнения формы со' допускают два бесконечно малых преобразования Arf и Д2/, а потому имеют место соотношения
а)! — т' (А^ 6), ш2 = со'(Д2) (5).
Чтобы вычислить в этом случае функцию а, применим к обеим частям равенства (4) операцию, которая переводит инвариантную форму ?2(6) в форму ?2(АЬ 6). Получим
П (П— 1) [co'n ~ 2colto2] — п [со'"""1^] со2 (Aj) = па [<о'п ^coj, .
откуда, в силу того, что форма [со'""1^] заведомо не является нулем, получим
о= — о)2(А1 = «)'Д1
Обобщенная теорема Пуассона-Якоби, приложенная к двум инвариантным формам fi/(Al5 б) и со' (Az, 8), приводит, таким образом, к первому интегралу <и'(Аъ Л2), который получается в результате двукратного применения к форме со' операции, соответствующей бесконечно малым преобразованиям Аг/ и
ГЛАВА XIII.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЙ АБСОЛЮТНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ.
Общий метод интегрирования.
129. Пусть со — линейная диференциальная форма; ее билинейный ковариант со' имеет четный ранг 2п. Возможны два случая, в зависимости от того, будет ли уравнение со = 0 следствием характеристической системы формы со', или нет. Рассмотрим сначала первый случай.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210


Математика