Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

120 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДНЕГО МНОЖИТЕЛЯ
Общее решение системы (1) получим, приравнивая постоянной Сп интеграл от полного диференциала
Обобщения.
110. Теорема о последнем множителе может быть распространена на значительно более общий случай, именно на случай, когда известна инвариантная форма Q любой степени г < п. Предположим, что известны п — 1 независимых первых интегралов yv ...,уп—\- Составим всеми возможными способами группы по п — г этих интегралов
и рассмотрим формы
степени п, которые очевидно будут инвариантными. Если они не все равны нулю, то приходим к уже изученному случаю: находим мнорки-тель, или даже несколько множителей, и в некоторых случаях теорема I может дать последний из первых интегралов путем деления этих множителей. ;
Исключительным случаем будет тот, когда все написанные выше формы равны нулю. Предположим, что Q выражена с помощью дуъ . . ., <5yn_! и диференциала п-го первого интеграла (неизвестного) ду„. Наше предположение сводится, в сущности, к тому, что Q не содержит 8уп, потому что, если бы в Q входил отличный от нуля член, например, такого вида:
А [<Зу1...Луг-1<Зуп],
то внешнее произведение ?2 на буг+1> <5уг_|_з, . • •, <5yn_ i не было бы равно нулю.
Значит, Q представляет собой внешнюю форму относительно <5у1( . . ., дуп—1 — форму, коэфициенты которой могут быть вычислены.
Каждый из этих коэфициентов является первым интегралом. Если хотя бы один из этих коэфициентов не зависит от yl5 ...,уп_ь то приравнивая его произвольной постоянной, мы заканчиваем интегрирование. Единственным сомнительным случаем остается тот, когда все эти коэфициенты являются функциями от У!, . • ., УП-Ь Ясно, однако, что в этом случае знание инвариантной формы Q ничем не может помочь завершению интегрирования. Заметим только, что в этом случае данные уравнения не образуют характеристической системы формы Q.
Мы можем, следовательно, сформулировать следующую общую теорему:
Знание инвариантной диференциальной формы Q, для которой данная система диференциальных уравнений (1) является характе-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика