Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Интегральные инварианты
 
djvu / html
 

10 ВВЕДЕНИЕ
Автор старался) однако, показать, что эта проблема не может рассматриваться особняком; он только сузил бы ее, если бы не рассматривал ее как частный вид более общей проблемы, в которую должно войти исследование не только интегральных инвариантов, но еще и уравнений Пфаффа (Pfaff), инвариантных для данных диференциальных уравнений, а также бесконечно малых преобразований, допускаемых этими диференциальными уравнениями. Полное изложение этой проблемы значительно расширило бы рамки настоящего курса и, сверх того, потребовало бы некоторого знания теории непрерывных групп. Автор ограничивается тем, что при случае указывает на существенную роль группы @ преобразований, которые, будучи применены к интегралам данных диференциальных уравнений, оставляют неизменными все данные об этих интегралах, известные a priori г). Всякая система диференциальных уравнений сводится к типичным системам, из которых* каждая отвечает простой группе ®. Если эта простая группа —конечная, получаются системы диференциальных уравнений, которые хорошо изучены С. Ли (S. Lie) и Э. Вессио (Е. Vessiot), давшим им название систем Ли. Они связаны с теорией интегральный инвариантов в том смысле, что —посредством присоединения, в случае надобности, неизвестных вспомогательных функций —они допускают столько линейных интегральных инвариантов, сколько имеется неизвестных функций. Читатель найдет в XV главе этой книги некоторые общие указания с этой последней точки зрения относительно таких уравнений.
Если простая группа ® оказывается бесконечной, и если не принимать в расчет случая, когда это будет самая общая группа с п переменными —случая, при котором ничего неизвестно о соответственной системе диференциальных уравнений, —то эта группа допускает или интегральный инвариант максимальной степени [теория множителя Якоби (Jacobi)], или относительный линейный интегральный инвариант (теория уравнений, приводимых к каноническому виду), или инвариант-•ное уравнение Пфаффа (уравнения, приводимые к уравнению с частными производными первого порядка). Главы XI—XIV посвящены этим классическим теориям.
Понятие интегрального инварианта можно рассматривать с точки зрения, несколько отличающейся от точки зрения А. Пуанкаре, которой, в общем, мы держались в этом курсе. Вместо того, чтобы рассматривать1 кратный интеграл, связанный с системой диференциальных уравнений, по отношению к которой он обладает свойством инвариантности, его можно рассматривать в связи с группой преобразований, относительно которой он инвариантен. Впрочем, обе точки зрения связаны между собою. Последней держался С. Ли, которому в течение некоторого времени она казалась единственно правильной. Тут понятие интегрального инварианта тоже играет важную роль, ибо, как это показал автор 2), всякая группа преобразований, посредством присоединения
*) Е. Cartan. — Les sous-groupes des groupes continus de transformations. Ann. EC. Norraale (3), т. XXV (1908 г.), стр. 57—194 (гл. 1-я).
2) Е. Cartan.—Sur la structure des groupes infinis de transformations. Ann; EC. Normals (3), т. XXI (1904 г.), стр. 153-206; т. XXII (1905 г.), стр. 219-308.

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210


Математика