Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

70 Г Л А В A III
с другой стороны, следовательно,
иными словами, точка Q лежит внутри сферы радиуса р с центром в точке Р*.
f 1) сферам радиуса р, имеющим центры на (С), соответствуют в ри-мановом пространстве (р + 1) сфер, частично перекрывающих друг друга, центры которых лежат все внутри (2); кривая (С) отобразится в рима-новом пространстве на кривую (Y), начинающуюся в точке М0 и кончающуюся в точке М'— аентре последней сферы. Кривая (Ct), очевидно, тоже отобразится на некоторую кривую (YJ), начинающуюся в Мв и оканчивающуюся в М. Рассматривая (р+1) сфер, имеющих центры на кривой (Cj), мы убеждаемся, что и кривая (Cj) отобразится на некоторую кривую (YS), которая начинается в Жв и оканчивается в М. Продолжая шаг за шагом это рассуждение, мы убеждаемся, что и кривая (С1) даст в римановом пространстве кривую (у')> исходящую из М^, оканчивающуюся в М и лежащую целиком внутри (2).
Отсюда следует, что при обратном отображении (развертывании) риманова пространства на евклидово только одна точка М сможет отобразиться в точку Р. А это и требовалось доказать.
Таким образом наша основная теорема полностью доказана. '
62. Предположим в частности,, что мы имеем односвязное риманово пространство. Отображая евклидово пространств© на риманово, мы покроем последнее один и только один раз. Следовательно, эти два пространства тождественны между собою, тождественны в том смысле, что существует взаимно - однозначное соответствие между точками этих пространств, сохраняющее расстояния между точками.
Всякое риманово пространство, нормальное, односвязное и имеющее евклидову метрику, тождественно с еквлидовым пространством.
В частности такое пространство простирается в бесконечность. Отсюда следует в случае п — 2, что поверхность сферы, которая односвязна, не может быть аналитически задана с помощью одной единственной повсюду регулярной координатной системы. В противном случае, обозначая через «иг» координаты и взяв в качестве линейного элемента выражение ds* = du* + dv*, мы опредашли бы на сфере повсюду регулярную евклидову метрику. , '
IV. Группа голономии нормального локально-евклидова
пространства
63. Рассмотрим теперь нормальное риманово пространство, локально-евклидово, но многосвязное. При развертывании его на евклидово пространство, точке М9 будет соответствовать несколько точек (может быть даже бесконечно много):
•в' i> v ' ' '

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика