Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

<• Г ЛАВАШ
ЛОКАЛЬНО-ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА*)
I. Понятие многообразия
50. Точно определить общее понятие многообразия—задача достаточно трудная. Общее представление о многообразии двух измерений дает поверхность. Если мы рассмотрим, например, сферу или тор, то мы увидим,' что эти поверхности можно разложить на конечное число частей^ каждая из которых может быть взаимно-однозначно отображена на некоторую односвязную область евклидовой плоскости.
Выражаясь точнее, для каждой точки PQ многообразия можно найти вблизи этой точки такую систему координат и, v, что если ив, VQ являются координатами самой точки Я0, то существует положительное число г, обладающее следующим свойством. Любая система чисел и, v, удовлетворяющая неравенству;
(u-ut^ + (v—o^ представляет собою координаты некоторой точки многообразия, близкой к PQ, *и, наоборот, в достаточно малой окрестности Я0 всякая точка Р имеет координаты м, v, удовлетворяющие неравенству (1).
Сфера и тор являются многообразиями двух измерений, не имеющими границ. Круглый цилиндр, гиперболический параболоид являются открытыми двумерными многообразиями (с границей в бесконечности). Одна полость круглого тсонуса, из которой исключена вершина, образует .многообразие, имеющее границы как в бесконечности, так и на конечном расстоянии (вершина).
Объем, заключенный внутри некоторой сферы, представляет собою открытое многообразие трех измерений, причем границею служит сама сфера. Объем, заключенный внутри сферы, вместе с поверхностью, его ограничивающей, образует трехмерное многообразие, имеющее границу, но граница является частью самого многообразия, которое называется в таких случаях замкнутым.
1) По поводу материала этой главы см. W. KUIing, Einftihrung in die Grund-lagen der Geometric, 1.1, Paderborn, 1893; F. Klein, Conferences sur les Mathematiques faites и I'Exposltion de Chicago (Conf. XI); J. Hadamard, Sur la forme de 1'espace. (Proc.-verb. des seances de la Soc. des Sc. phys. et nat. de Bordeaux, 1897—1898, стр. 83—85); H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fiache, {Leipzig und Berlin, 1923, также Math. Ann., t. 77, 1916, стр. 349); H. Hopf, Zum Clifford - Kleinschen Haumproblem (Math" Ann. t 95, 1926, стр. 313—339). Смотри также F. Enrique^ Principes de la geometne (Encycl. Sc. math., t. Ill, 1, стр. 131—136).

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика