Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

50 Г Л А В А II
/
Это простое выражение можно иодучить и другим путем. Ограничимся для простоты рассуждения трехмерном пространством. В прямоугольных
dX.dY.dZ координатах х, уг г дивергенция л~ -V 5~ -г =— некоторого векторного
поля (X, Y, Z) вводится чаще всего при вычислении потока векторов сквозь замкнутую поверхность посредством формулы:
. (25)
Чтобы написать аналогичную формулу в произвольных криволинейных координатах, будем рассматривать элемент поверхности интегрирования как бивектор, плоскость которого касательна к поверхности, а мера равна площади элемента поверхности; этот бивектор должен быть ориентирован таким- образом, чтобы его дополнительный вектор был направлен вне объема, ограниченного нашей заданной поверхностью. Подинтеграль-ное 'выражение в левой части уравнения (25) будеЧ равняться тогда мере тривектора, определенного введенным выше бивектором и вектором (X, Y, Z). Что касается подинтегрального выражения в правой части равенства, то оно является произведением дивергенции поли на элемент объема пространства. '" '
Отсюда получаем общую формулу:
Vg (Xldu*du* + X^dtfda1 + JftfrW) = div x Vg Применяя формулу Остроградского1), получаем тотчас же:
(24)
42., Изучение полей тензоров-скаляров (скалярных полеК) приводит •нас к понятиям, особенно важным в геометрии и в математической физике. Скалярное поле является попросту функцией точки V(a1, . . . , ия), определенной независимо от какой бы то ни было системы референции. Производный тензор
^ dV
является градиентом функции < V; он определяет таким образом поле векторов. Ротация этого поля тождественно равна нулю. Квадрат длины градиента, а именно:
дает нам первый дифер$нциальный параметр k^V Бельтрами (Beltrami).
?) См. § 149 книги Э. Гурса, Курс математического анализа, г. 1, ч. 2, ГТТИ, 1932 г. Прим. реК V ' .<

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика