Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

220 ПРИБАВЛЕНИЕ Г
I
3. Рассмотрим теперь содержащую данную геодезическую линию у поверхность (5), геодезическую во всех точках этой линии. Докажем, что единичный вектор нормали к (6) в некоторой точке кривой (у) при параллельном переносе вдоль этой кривой остается нормальным к поверхности.
Не уменьшая, общности, мы можем предположить, что геодезическая (у)~ определена уравнениями u = v^=Q; отсюда следует, если учесть еще (1), что во всех точках (у) выполняется соотношение:
Г' — Г2 — 0 -
1 зз — L зз — и<
Ковариантные компоненты единичного вектора нормали к (5) в некоторой точке кривой (у) имеют вид (/,, /а, 0). Докажем, что во всех точках кривой (у) удовлетворяются равенства:
^_1 _ / Г1 __/Г2 __О \
dw Mis" 'a1 is — и> I
^Ь — 1 Г1 •—/ Г2 — 0 ( ^
dw 'i123 Vzs —и>
._/Г! __/Г2 — 0 J
liLa» Mas —Ut
Третье соотношение выполняется автоматически. Чтобы доказать первые два, возьмем некоторую. точку А кривой (у) и предположим, что в этой точке ® = 0. Сделаем такую замену переменных, чтобы в точке А все Г^ превратились в нулЬх(п° 84). При этих условиях достаточно,будет показать, что в точке А справедливы равенства:
Эти равенства по существу сводятся к одному, так как соотношение:
gr«/j + 2*«/1/,+*
при диференцировании дает (в точке А):
Если, например, мы . предположим, что уравнение элементарной .площадки, касательной к (S) в А, имеет вид rf« = 0 (/2 = 0), то нам нужно будет доказать, что
или, иначе, что отношение — стремится к нулю, когда w стремится к нулю. •

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240


Математика