Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

190 Г Л А В'А VIII
Впрочем, вычисление внешней производной производится точно так же, как если бы евклидово пространство было отнесено к определенной, декартовой системе координат, только при этом частные производные коэ-
ф щиентов формы ш* должны быть заменены их абсолютными производными. Так, например, если форма о>* линейна:
то мы получим:
k,h
причем тензор ОЙА будет тензорной производной от с/л, a h будет обозначать индекс диференцирования. 4
184. Рассмотрим теперь риманово пространство. Если взять в этом пространстве произвольную область интегрирования, то геометрическая сумма бесконечно большого числа бесконечно малых тензоров (например векторов), связанных с элементами области интегрирования, вообще не будет иметь смысла. Но если область интегрирования лежит целиком в бесконечно малой окрестности. Данией точки А риманова пространства; то линейный элемент риманова пространства можно будет заменить соприкасающимся с ним в точке А евклидовым линейным элементом. В этом случае тензорный интеграл будет иметь смысл, главная часть его будет тензором, заданным в точке А, причем эта главная часть не будет зависеть от выбранной соприкасающейся евклидовой метрики.
В частности рассмотрим (р -\- 1)-мерную область и ее р-мерную границу. Тензорный интеграл, элементом' которого служит to*, распространенный на эту границу, будет равен интегралу от П{, распространенному на всю заданную область; но в точке А коэфициенты Ш 'связаны с соприкасающейся евклидовой метрикой -только посредством величин Гй> которые совпадают с соответствующими коэфициентами римановой метрики.
Таким образом можно определить тензорный интеграл, распростра1-ненный на бесконечно малую область риманова пространства; при этом операция абсолютного внешнего диференцирования будет производиться по тем же правилам, что и в евклидовом пространстве.
185. Рассмотрим, например, векторный интеграл \ dM, взятый вдоль
«J
бесконечно малого цикла. Имеем:
(М)
Поэтому геометрическая сумма векторов ММ, соединяющих соседние точки бесконечно малого цикла, равна нулю.,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240


Математика