Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

180 ГЛАВА VII
определяются точно так же, как основные векторы локальной координатной системы, связанной с точкой AJ. Мы доказали (п°146), справедливость формул:
(25)
в которых символы dM и dtt обозначают настоящие диференциалы.
Чтобы вычислить ковариантные компоненты Q^ вращения, ассоциированного с элементарным циклом, вычислим сначала «оу. Имеем:
следовательно,
«г=ре, <*ел=2 К **J+* [2 ^ ^и& 2^"«da*] • (26)
Отсюда немедленно получается:
причем через pl} обозначены ковариантные компоненты бивектора, ограниченного циклом.
Значит, пространство имеет постоянную риманову кривизну К.
Предыдущее вычисление приводит к другому важному заключению. Условия интегрируемости уравнений (25), в которых М и; ег—«еизвест-ные геометрические функции в проективной плоскости, в которой определена эллиптическая или гиперболическая метрика заданной кривизны К, даются как раз уравнениями (26), выражающими, что риманова криризна имеет постоянное значение К. Следовательно, любое пространство, риманова кривизна которого постоянна, является либо локально-эллиптическим (если К положительно), либо локально-гиперболическим (если К отрицательно), либо локально*евклидовым пространством \К. = 0). Действительно, развертывание, его на эллиптическое, гиперболическое или евклидово пространство может быть осуществлено, так как уравнения (25), которыми дается это развертывание, вполне интегрируемы.
176. Теперь мы можем доказать теорему, в силу которой аксиома плоскости выполняется только в таких пространствах, которые иеотропны -в каждой из своих точек. Предположим сначала, что все (п— 1)-мерные многообразия, геодезические в данной точке Л, являются вполне геодезическими. Рассмотрим одно из этих многообразий и элементарный цикл, проходящий через А и лежащий целиком на этом многообразии; система бивекторов, характеризующая вращение, ассоциированное с этим циклом, может быть разложена на бивекторы, расположенные в (я—1)-мерной

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240


Математика