Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

170 г л А в A vii
к стороне аЬ геодезического треугольника. Что касается направления стороны ас, то чтобы его найти, нужно повернуть направление АС на
Л Л ' Х\
угол, Kda. Но при развертывании углы В и С сохраняются; угол ВАС
Л Л Л
прямолинейного треугольника равен я — В — С; чтобы найти угол А геодезического треугольника, нужно повернуть АС на угол /<"«ta; следовательно,
« R 'с - Л
JC '— О----^----J
откуда: "
Л Л Л __
Это и есть теорема Гаусса. В частном случае сферы радиуса R левая Фиг. 28. часть уравнения (13) (сферический избыток)
равна, как известно, площади сферического треугольника, деленной на /?2 (теорема Альбера Жирара).
Таким образом риманова кривизна в некоторой точке поверхности (или •иного двумерного риманова пространства) может быть определена как
i предел отношения ———-?--------, в котором. Л, В, С являются углами
€зсконечно малого геодезического треугольника, для которого точка А служит вершиной и площадь которого равна dz.
164. Став на более общую точку зрения, мы можем рассмотреть произвольный-бесконечно малый цикл. При развертывании этого цикла касательные в двух достаточно близких* точках М, М', соответствующих точкам т, т' цикла, образуют угол, равный геод яическому углу смежности цикла, именно — , причем pfl обозначает радиус геодезической кри-
Г О
визны (п°100). Направление касательной в исходной точке А развернутого цикла поворачивается в конечном счете на угол \ - ; дополнительный угол, на который его нужно повернуть, чтобы получить 2тс, равняется, следовательно, Kda, и мы получаем формулу, тоже данную Гауссом: р ^
2тс— \ — =1
эту формулу можно распространить на произвольный цикл. При этом получим: f-"
Теорема о геодезическом треугольнике является частным случаем этой формулы. В случае геодезического многоугольника формула принимает
вид: Р л
(14)
•s здесь — сумма углов многоугольника, а п — число его сторон.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240


Математика