Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

ГЛАВА УП
РИМАНОВА КРИВИЗНА
/
I. Движение, ассоциированное с циклом
155. Теперь мы вернемся к наиболее общим римановым пространствам и посмотрим, что же собственно отличает их от пространства Евклида.
Мы видели (п° 92), что если в римановом пространстве дана дуга кривой асЬ\ с каждой точкой которой связана соответствующая естественная декартова координатная система (/?), то можно развернуть эту дугу и связанные с ней координатные системы на евклидово пространство (например на касательное в а евклидово пространство). Если исследуемое пространство не является локально-евклидовым, а точки а и b не слишком "Ч удалены одна от другой, то развертывание другой дуги ас'Ь, соединяющей те же точки а и 6, приведет к иным результатам. Если точке а и и-эдру (/?) соответствуют в евклидовом пространстве точка А и и-эдр (/?д), то в первом случае мы придем к точке В и я-эдру (RB), во вторрм — к В' и (R's) (фиг. 25). Этот результат можно сформулировать несколько иначе. Предположим, что, отправляясь в евклидовом пространстве от положения В' и (/?#) как от начального, мы развертываем замкнутый контур или цикл bc'acb; описав его и вернувшись к исходной точке b и связанному с ней /г-эдру, мы получим в евклидовом пространстве конечное положение В и (Rs). Чтобы вернуться от этого положения к начальному, нужно в евклидовом пространстве осуществить некоторое движение, именно то, которое переводит В в В и (RB) в (Rs)', про это движение говорят, что оно" ассоциировано с данным циклом. Оно зависит, конечно, от начального положения, которое мы выбрали для В' и (Re); но можно сказать, что по отношению к /г-эдру (R'B) оно вполне определено. Иначе говоря, это движение вполне определено "в касательном в точке В' евклидовом пространстве.
156. Изучить непосредственно движение, ассоциированное с произвольным циклом, содержащим данную точку, — задачу весьма трудная. Мы
Фиг. 25.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика