Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

130 ГЛАВА VI
скости. Найденный нами линейный элемент определяется, таким образом, двумя свойствами: прямым соответствуют линейные относительно X, Y уравнения, и евклидова плоскость с прямоугольными координатами (X, Y) соприкасается с эллиптической в начале координат.
Полезно заметить, что найденный линейный элемент имеет смысл во всех точках эллиптической плоскости, за исключением точек, расположенных на поляре точки ^ = Х = 0 (соответствующей бесконечно большим значениям X и К).
III. Гиперболическая геометрия двух измерений 125. Формулы, выражающие геометрические свойства фигур эллиптической плоскости, кривизна которой равна -^, содержат некоторый положительный параметр /С=т™. Если этому параметру дать отрицательное значение К——-™, то мы получим гиперболическую геометрию.
Ее можно определить и непосредственно, отправляясь от действительного конического сечения в проективной плоскости и называя расстоянием (кэлиевым или неевклидовым) между двумя точками плоскости М
2
и М произведение -д- на логарифм ангармонического отношения двух /\
данных точек и двух точек пересечения прямой, соединяющей наши точки с абсолютом. Если мы хотим, чтобы это расстояние было действительным для всех прямолинейных отрезков, исходящих из М, необходимо (и достаточно), чтобы эта точка была расположена внутри абсолюта. Таким образом, гиперболическая плоскость представляет собою многообразие, образованное всеми, точками, расположенными внутри абсолюта Г. Если точка М фиксирована, а точка М' стремится к некоторой произвольной точке абсолюта, то непосредственно видно, что расстояние (кэлиево) между этими точками неограниченно возрастает. Абсолют является, таким образом, геометрическим местом бесконечно удаленных точек.
Как и в случае эллиптической плоскости, угол между двумя прямыми,
пересекающимися в точке А, определяется как произведение -^- на логарифм ангармонического отношения двух данных прямых и двух касательных к абсолюту, проходящих через точку А. В частности, две прямые перпендикулярны (в смысле Кэли), если они сопряжены по отношению к абсолюту, т. е. если одна из них проходит через полюс втордй (полюс, который, собственно говоря, не является точкой, действительно принадлежащей гиперболической плоскости).
Геодезическими линиями гиперболической плоскости будут, очевидно, прямые, потому что вычисление, с Чюмощью которого мы найдем эти геодезические, ничем не отличается от соответствующего вычисления в случае эллиптической плоскости (единственное отличие состоит в том, что параметр К здесь отрицателен).
Постулат Евклида в гиперболической плоскости не выполняется; черзз точку А, расположенную вне прямой D, можно провести бесчисленное

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика