Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

120 Г Л А В А V
Тогда автоматически выполнится равенство:
Возьмем теперь форму а3х + b^y + c3z, линейно независимую от двух форм:
cz и ax
Введем также форму азх1 + Ъ3у' + сзг', линейно независимую от форм:
Положим, наконец:
Х—а^
Y = а^
Любая точка пространства вполне определяется величинами X, Y, Z, Т (или, вернее, отношениями этих величин к одной из них), потому что, зная X, Y, Z, мы сейчас же можем определить х, у, 2, а зная X, Y, Т — найти х', у', г'.
114. Полученная нами система координат обладает тем свойством, что всякая плоскость, проходящая через точку А, определяется уравнением, линейным относительно X, Y, Z, а всякая плоскость, проходящая через В, — уравнением, линейным относительно X, Y, Т.
Возьмем произвольную геодезическую нашего пространства; эта геодезическая вместе с точкой А определяет вполне геодезическую поверхность, уравнение которой линейно, относительно X, Y, Z. Вместе с точкой В эта же геодезическая определяет другую вполне геодезическую поверхность, уравнение которой линейно относительно X, Y, Т. Итак, любая геодезическая определяется двумя уравнениями первой степени относительно X, Y, Z, Т.
Обратное предложение справедливо, потому что любая система двух уравнений первой степени эквивалентна такой линейной системе, в которой первое уравнение содержит только переменные X, Y, Z, а второе — X, Y, Т. Она определяет кривую пересечения двух вполне геодезических поверхностей, т. е. непременно геодезическую кривую.
Если X, Y, Z, Т мы будем рассматривать как однородные координаты точки в обычном пространстве, то убедимся, что часть риманова пространства, близкая к точкам А и В, допускает отображение на евклидово пространство, при котором геодезическим соответствуют прямые (геодезическое отображение).
Аксиома плоскости является непосредственным следствием предыдущего результата. Поверхность, которая отображается на некоторую плоскость обычного пространства, непременно является вполне геодезической поверхностью, потому что из каждой ее точки исходит бесконечное мно-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика