Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

ГЛАВА V
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ; АКСИОМА ПЛОСКОСТИ И АКСИОМА СВОБОДНОЙ ПОДВИЖНОСТИ
I. Поверхности, геодезические в точке; теорема Север и
103. Если через точку Л риманова пространства провести все возможные геодезические '), касательные в этой точке к данной элементарной площадке, то получится поверхность, которая называется геодезической в точке А. Для того чтобы выяснить, является ли некоторая данная поверхность геодезической в одной из своих точек, достаточно рассмотреть геодезические линии, касательные к поверхности в этой точке: они должны лежать целиком на поверхности.
У поверхности, геодезической в точке А, обе главные кривизны в этой точке равны нулю, потому что нормальная кривизна в направлении любой касательной к поверхности равна в точке А нулю. Следовательно, абсолютный -дифзренциал единичного вектора нормали к поверхности при переходе от точки А к бесконечно близкой точке той же поверхности А' равен нулю. Стало быть, если параллельно перенести из Л в Л' вектор, касательный к поверхности в Л, то ив точке А' он останется касательным к поверхности (с точностью до бесконечно малых выше, чем первого порядка).
На основе этих соображений можно установить способ геометрического построения параллельного перенесения вектора, данный Ф. Севери а).
Чтобы вектор х, приложенный в А, перенести параллельно в бесконечно близкую точку А', нужно провести геодезическую А А' и геодезическую поверхность в точке А, касательную в А к вектору х и к геодезической ЛЛ'. Искомый вектор х' должен касаться в А' &той поверхности а образовывать с геодезической АА', продолженной за А', угол, равный углу, образованному с этою же геодезической вектором х.
Последняя часть нашего утверждения вытекает из того, что направление геодезической ЛЛ' в Л' параллельно ее же направлению в А, и из того, что ври параллельном перенесении угол между двумя направлениями сохраняется.
Важно заметить, что если вектор х переносить параллельно вдоль конечной дуга геодезической ЛЛ' (продолженной достаточно далеко), то
t) Здесь и в дальнейшем имеются в виду геодезические линии пространства, т. е. «прямые».
2) F. Severi, Sofia owvatura deile supetficie e varleta (Rend. Ore. matem. Palermo, t. 42, Ш7, стр. 22Z—259).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика