Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия римановых пространств
 
djvu / html
 

100 ГЛАВА IV
свяжем местную декартову систему координат (репер) (/?„), определяющийся по форме и величине числовыми значениями коэфициентов g(i в точке Л0. Поставим в соответствие каждой точке М кривой точку М евклидова пространства и локальный л-эдр (ej, ..., е«), связанный с этой точкой. *
Как мы это уже делали раньше (п° 46), мы будем исходить из дифе-ренциальных уравнений: *
dM1 = ^ du'Qi, \
(19)
*=2 •?*'»•'(
Тс I
куда в качестве независимой переменной входит параметр t. Неизвестные функции М и ее' определяются с помощью начальных условий: при ? = 0, М совпадает с О, а вектор е/—с вектором (е8')0 /z-эдра (/?0). Можно показать, как это было сделано и раньше (п° 47), что «-эдр (/?), связанный с переменной точкой t, при попарном скалярном перемножении составляющих его векторов дает как раз соответствующие коэфициенты g^. Более того, если М и М1—две бесконечно близкие точки, лежащие на заданной кривой, М и М\—соответствующие точки евклидова пространства, то два равные вектора, приложенные в точках М и М±, имеют в качестве образов два равных (в обычном смысле слова) вектора, приложенных в точках М' и М'г.
Благодаря тому, что в каждой точке Ж'1 определена местная декартова система координат (./?), мы можем фактически развернуть на евклидово пространство не только самое данную кривую, но и бесконечно малую область риманова пространства, окружающую эту кривую. Чтобы получить абсолютное геометрическое изменение вектора, начало которого описывает в римановом пространстве дугу данной кривой, достаточно построить обычную геометрическую разность двух векторов, полученных к результате только что разобранного развертывания. Мы имеем таким образом точное и строгое определение этого абсолютного геометрического изменения. Точно так же мы получаем точное и строгое определение параллельного переноса вектора вдоль заданного пути.
93. Можно еще более уточнить разобранную только что операцию, показав, что существует евклидова метрика, соприкасающаяся с данной метрикой, вдоль всей данной кривой, или, говоря иначе, что существует евклидово пространство, соприкасающееся с данным вдоль данной кривой. Это значит, что можно определить евклидов линейный элемент с независимыми переменными м', такой, что вдоль данной кривой и сами коэфициенты gl} и их частные производные первого порядка будут иметь такие же значения, как и соответствующие коэфициенты данного линейного элемента 1).
Чтобы доказать это предложение, рассмотрим только что реализованное нами развертывание данной кривой на евклидово пространство. Мы
1) Эта теорема была высказана впервые Ферми. См. Rend. Асе. Lincei, t. 31a, 1922, стр. 21—23, 51—52.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240


Математика