Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия групп ли и симметрические пространства
 
djvu / html
 

<Ю Геометрия групп преобразований _
вследствие чего а'{ являются функциями только одних переменных я,- (и постоянных интегрирования). Поэтому всякое решение системы (7) дает нам точечное преобразование пространства, сопровождаемое отображением реперов, и это точечное преобразование, очевидно, является изоморфизмом, так как оно сохраняет вид уравнений (6).
Следует заметить, что сами точечные преобразования а(- в а( фактически зависят от r-\-s произвольных постоянных. В самом деде, всякое решение системы (7), которое оставляло •бы инвариантными все переменные at, являющиеся первыми интегралами уравнений в>' = 0, оставляло бы также инвариантными первые интегралы уравнений
• р
получаемых приравниванием нулю частных производных от (со1)' тто со'. Но эти уравнения влекут за собой 61 = 0а= . . .8* = О, т. е. величины bj также должны быть инвариантными, что является абсурдом [14].
79. Полученные нами точечные преобразования образуют группу Н. Связная группа изоморфизмов не может быть шире, чем Н. В самом деле, если мы рассмотрим все изоморфизмы, оставляющие инвариантной точку пространства, они преобра-
'зуют векторы, выходящие из этой точки с помощью группы линейных подстановок, оставляющих инвариантными тензор кривизны, и поэтому входят в группу Л. Поэтому порядок максимальной связной группы изоморфизмов не может превзойти r-\-s. Справедливость этого соображения основывается на сделанном нами выше (п°76) замечании о том, что определение линейной подстановки, которой подвергаются векторы, выходящие из некоторой точки, влечет за собой полное .определение соответственного изоморфизма.
80. Дадим другое доказательство этой теоремы, имеющее-то преимущество, что здесь будет показано, что всегда существует изоморфизм, оставляющий инвариантной произвольную точку и преобразующий векторы, выходящие из этой точки, с помощью произвольной линейной подстановки, которая оставляет инвариантными компоненты тензора кривизны, независимо •от того, входит ли эта линейная подстановка в связную группу h или нет.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380


Математика