Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия групп ли и симметрические пространства
 
djvu / html
 

350 _ Примечание переводчика _
двух соответственных двойных матриц. Мы уже видели, что при унимодулярности матрицы oj необходимо унимодулярны обе матрицы a'j и b'j, а при унимодулярности матрицы a!j н, следовательно,. b'j, уиимодулярна и матрица а1/.
14. Применяя теорему Картана для групп кватернионных унитарных матриц и инволютивного автоморфизма, порожденного пре-' образованием (11), мы получим матрицы, элементами которых являются не кватернионы, а псевдокватернаэны & = a-\-bi-{-ce-{-df, где /2 = — 1, е2 = -(~ 1. / = /в = — el, a, b, с, d — вещественные числа, Псевдокватернионы образуют кольцо, изоморфно представляющееся кольцом всех вещественных матриц второго порядка: для доказательства достаточно поставить в соответствие всякому псевдоква-
терниону a-\-bi-\-cef-}-df вещественную матрицу (^1Ге д_^}
и убедиться, что сумме и произведению псевдокватернионов соот-
ветствует сумма и произведение соответственных матриц и обратно..
Для каждого псевдокватерниона а = a -f- Ы -f- се -{- df опрзделен
сопряженный псевдокватернаон а = а — Ы — сг — df, причем произ-
ведение аа является вещественным числом а2-\-№ — с2 — d2. Легко проверить, что если псевдокватерниону а соответствует матрица
то сопРяженномУ псевдокватерниону о соответствует матрица
( _ ^ са\, а число а.1 равно детерминанту матрицы (? S). Благо-
даря тому, что произведение псевдокватернионов <*з является вещественным числом над псевдокватернионами, так же, как над кватернионами можно определить эрмитовы формы, имеющие вид (5),. где все переменные х1 и х' являются псевдокватернионами. Поэтому можно определить группу псевдокватернионных матриц, преобразующих псевдокватернионные переменные л;' по формулам 'x'^^a'/xf
j
(где все переменные 'х' и х1 и элементы матриц «у— псевдокватернионы) и переводящих в себя эрмитову форму (5). Такие псевдокватернионные матрицы также называются унитарными и удовлетворяют соотношениям (6), где все элементы матриц а' и a'k — псевдо-
кватернионы).
Применяя теорему Картана для групп кватернионных матриц и инволютивного автоморфизма, порожденного преобразованием (11), мы получаем группы псгвдокеатернионных унитарных матриц.
Кольцо псевдокватернионов, так же, как кольцо кватернионов, некоммутативно, вследствие чего нельзя определить унимодулярных псевдокватернионных матриц.
Важное значение построенной нами группы для вещественной. геометрии следует из того, что группа псевдокватернионных унитарных матриц п-го порядка в точности изоморфна группе вещественных симплектических матрац 2п-го порядка. Для доказательства достаточно поставить в соответствие всякой псевдокватернионной

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380


Математика