Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия групп ли и симметрические пространства
 
djvu / html
 

290_______Теория конечных непрерывных групп и топология_________
Эти формулы определяют новую структуру группы, допускающей инволютивный автоморфизм (1). Соответственная новая форма <р(е), очевидно, может быть получена из первоначальной заменой i на — X. Следовательно, всякому некомпактному неэвклидову неприводимому симметрическому пространству соответствует компактное неэвклидово неприводимое симметрическое пространство и обратно.
Поэтому разыскание всех неприводимых симметрических пространств сводится к разысканию всех компактных пространств этого типа.
67. Прежде чем начать это исследование, докажем, что если неприводимое симметрическое пространство определяется полупростой группой Q, эта группа является максимальной связной группой движений этого пространства.
Заметим сначала, что коммутаторы (XtXj) должны порождать все г —« независимых линейных комбинаций Хи. В самом деле, в противном случае эти коммутаторы породили бы нормальный делитель g' группы g, как показывает тождество Якоби, примененное к (Xa(XtXj)). Но так как подгруппа g компактна, она являлась бы прямым произведением g' и некоторой другой подгруппы g". Но если Хр принадлежит g", то формулы (7) показывают, что в силу равенства с,-, нулю с •] также равны нулю. Следовательно, g" — нормальный делитель в G, что невозможно.
Теперь предположим, что существует связная группа G', содержащая О в качестве подгруппы и оставляющая инвариантной метрику пространства. Группа G' не может быть полупростой, так как коммутаторы (Х(Х^) уже не порождали бы всех преобразований новой подгруппы g', оставляющей неподвижной начальную точку. Поэтому пространство, будучи неприводимым, может быть только эвклидовым, что противоречит предположению. Этим наше утверждение доказано.
III. КОМПАКТНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
68. Оставим локально эвклидовы пространства в стороне. Поэтому группа О является простой или полупростой и компактной.
Если компактная группа G проста и допускает инволютивный автоморфизм Л, оставляющим инвариантными преобразо-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330 340 350 360 370 380


Математика