Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Картан Э.N. Геометрия групп ли и симметрические пространства
 
djvu / html
 

20 _ Геометрия групп преобразований _ _
11. Первым вопросом, возникающим здесь, является вопрос о существовании геодезических линий. Однако в групповом пространстве легко совершенно a priori найти бесконечное количество 'геодезических линий. Пусть, в самом деле, (а) — фиксированная точка. Рассмотрим 1 -параметрическую подгруппу g группы О. Обозначим общее преобразование этой подгруппы 'через 6В. Тогда точка (?), определенная с помощью соотношения
7\ = еиТа, (8)
• « опишет геодезическую линию. Пусть, в самом деле, ult иг, и3 —
три произвольных значения параметра и, a (Sj), (?2), (?8) — три соответственные точки. Пусть, наконец, точка (?4) — конец
вектора ?3?4, равного в первом смысле вектору S^. Тогда имеем
T,J^ = T,J^
ИЛИ
___ Т Т~^Т _ Q & — ^?i Т _ О т
Е« — 'Ь'е, 'Ь, — tf»,wa, VasJa = Vatla> -
что и требовалось доказать.
Обратно, таким образом мы получаем все геодезические линии. В самом деле, обозначим через (?), (г)) две переменные точки и через (а) — фиксированную точку некоторой геодезической линии. На этой геодезической линии существует такая точка (Л), что
Следовательно, преобразование Т^Т~^ зависит только от одного параметра. Отсюда следует (п°6), что все эти преобразования и, в частности, преобразования Т^Т"1 порождают 1 -параметрическую подгруппу g группы О. Если обозначить общее преобразование этой подгруппы через 6В, мы получим
что и требовалось доказать.
Можно заметить, что всякая геодезическая линия может быть определена также соотношением
Ъ=Тв9и, (9)

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380


Математика