Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

<Ю НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Из (4) и (7) мы получаем
. __ ad __ F(t)_ V — f •
откуда
Ф^Р^
где
/=•,(/) = * — *, Fz(t) = t*-st — q.
В любом кольце О целых чисел кубического поля Qp, которое содержит 1 и число р, числа его нормального ступенчатого в р базиса имеют вид (1) и (9). Наоборот, если целые рациональные числа 8, a, D0, t удовлетворяют условиям (7') и (8), то 1, ср, ф — нормальный ступенчатый базис такого кольца.
Действительно, из (9) получается (р-ф = — ad, затем из (6) ср2 = — ас — — ?ср-(-аф, и из этого уравнения, помножением на ф, фг = — М — а??-|-сф, если принять во внимание срф = — ad, и, наконец, исключением из этих двух уравнений ф и (р, получаем
ф8 _|_ c(j,2 _|_ ^(!) _|_ а<22 _ 0.
Числа сриф, следовательно, — целые числа одного и того же кубического поля, и 1, ср, ф — нормальный базис кольца О ее целых чисел, содержащего 1 .
Таким образом доказана следующая теорема:
Теорема I. Если р — примитивное целое кубическое число, которое удовлетворяет уравнению
8— 52 — — я = 0,
дискриминант которого равен Dp, и числа 8, a, Do, t—целые рациональные числа, удовлетворяющие условию Dp —§8a2Do и сравнениям
-i-/=•"(*) SE 0 (mod 8); F'(t) = Q (mod^a); F(t) = Q (mod88a2), то числа
образуют нормальный ступенчатый в р базис кольца О целых чисел поля йр, содержащего 1 и число р, дискриминант которого равен Do. Таким образом получаются все нормальные ступенчатые в р базисы всех таких
лолец. Тут можно -предполагать, что — Т^^^Т'
Последнее утверждение следует из того, что если t — решение вышеуказанных сравнений при заданных 8 и а, то t-\-$a-J, где у — любое целое ра-дшональнЙе число, тоже решение этих сравнений, как в этом легко убедиться прямым вычислением. Теорема I показывает, что можно легко найти все кольца .целых чисел кубического поля, содержащие 1 и содержащие данное примитивное целое число р этого поля.
Замечание. Иидексформа (a, b, с, d) найденного базиса имеет
a — a- b- -
а — а, о— 2g , -- р^-, — „Зд3.
Если желательно вычислить базис совокупности всех целых чисел поля 20, то надо найти те 8 и а, для которых вышеуказанные сравнения имеют корень
"" и для КОТОРЫХ число Ьйа? имеет наибольшее возможное значе-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика