Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

•80 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
и (2) имеют вид z3=/z, z3=7z; но в таком случае они образуют одно и то же поле тогда и только тогда, когда либо пп, либо — есть полный куб.
Уравнения (1) и (2) образуют, следовательно, одно и то же .кубическое поле тогда и только тогда, когда их дискриминанты отличаются лишь квадратными множителями и когда по крайней мере одно из уравнений (*) (тут, собственно, два уравнения, вследствие знака + при Дл) имеет рациональный корень Uj. Корень этот ц, может быть только целым рациональным, так как D, не делится на квадрат, и, следовательно, если бы р был какой-нибудь простой множитель знаменателя и, и входил бы в этот знаменатель в степени х, то в первом члене после сокращения он остался ,бы, по крайней мере, в степени Зх — 1, .а во втором и третьем, если их привести к общему знаменателю, ои был бы
„ Дл-4- Дя „
не больше, чем в степени х. Число - j; - таким образом тоже должно быть
' ?
.целое рациональное. Коэффициенты a, (J, у переходной функции <о равны -"- ,
-?- , -г- , где и, v, w — целые рациональные числа, вычисляемые > по формулам
(**). Целость v есть хорошая проверка вычислениям.
Мы не нашли никакого простого критернума, чтобы a priori решать, какое из двух уравнений (*) имеет рациональный корень.
Пример. Пусть даны кубические уравнения г*= — 3z — 2 (I) и H6.z3-f-+ 219z2-|- 138.г-1-29=0. Первое уравнение уже имеет требуемую форму, второе же должно быть предварительно преобразовано. Оно имеет вид z3 =
= — ггк2? — Пе z — Ш ' полагая zl = \\6z-\- 73, мы получаем для z1 уравнение z'3 = — 21г'-|-326 (II). Будем искать переходную функцию от (I) к (II). Мы имеем д = — 3, п = —2; <т = — 21, л = 326; D=— 216; D = = — 216- 1162; D и D отличаются лишь квадратными множителями, первый
критериум выполнен. Мы имеем ?>,== — 6; Д = 6; Д = 696, уравнение (*),
с , с„ . 6-326 ±696-2 . .
следовательно, — 6и° — 63^ -| -- ~ - = "» откуда и1 — 6, при верхнем
знаке, и, таким образом, по формулам (**) мы получаем а — 3, (J = 2, у =6, т. е. переходная функция от (I) к (II) есть ср (z) = 3z* -f- 2z -j- 6.
§ 14. Базис целых чисел поля
В поле 2р всегда имеются три таких целых числа ю0, 2, о>3, а ш,, «>2), что всякое целое число <о поля Q выражается через них линейно однородно, с целыми рациональными коэффициентами:
СО — ИЮ0 -f-UWi -\-W(02, (I)
где a, t v, w — целые рациональные. Такие три числа называются базисом поля.
Если подходить к этому вопросу геометрически, то существование базиса совокупности целых чисел алгебраического поля любого порядка п либо вовсе не надо доказывать, если сама эта совокупность введена, как это было сделано в главе I, как решетка в Ка, повторяющаяся умножением, либо если только сказано, что это совокупность всех целых чисел поля, надо показать, что. в соответственном сигнатурном пространстве Ra: во-первых, совокупность точек, координатами которых являются эти числа и их сопряженные [если какие-нибудь два из сопряженных чисел о/'), ю<*> — комплексно сопряженные, т. е. ш<') = ?-|- 1 \ц <о{*) = ? — z'ji, то соответствующие им две координаты -берутся ? и jt], повторяется сложением и вычитанием (что следует из того,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика