Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

70 НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Нетрудно составить уравнение 3-ей степени, которому удовлетворяет число z •= нр2 -\- v р -)- to =• <р(р), т. е. произвести так называемое преобразование Чирнгаузена. Действительно, для этого достаточно написать z, z-p, г-р2, пониженные до 2-ой степени относительно р, и затем написать, что определитель, составленный из коэффициентов при 1,р, р2, равен нулю.
Пример. Пусть р8 = р -\- 1 , и требуется составить уравнение, которому удовлетворяет z = 2р2 -(- Зр -{- 1 . Пишем
г. р = ЗрЧ- 2р +3 (р -Ь 1)= Зр" + 5р +3J откуда:
z—\, —3, —2
— 2, 2—3, —3
— 3, —5, г — 3
=0
или, раскрывая этот определитель, лучше по Саррюсу, получаем:
(z* — 6z + 9)(z— 1) — 27 — 20 — 6(2 — 3) — 6(2 — 3)— 15(2— 1) = 0,
т. е. окончательно:
гз_7.г* — 27z — 5 = 0.
Если коэффициенты преобразуемого уравнения (1) и преобразующей функции ср(р) — целые, то и коэффициенты преобразованного уравнения — тоже целые. Уравнение, которому удовлетворяет о>, получается из уравнения, которому удовлетворяет z, путем деления его коэффициентов на Д, Д2, Д3. Если они разделятся, то уравнение, которому удовлетворяет о>, будет иметь тоже целые коэффициенты. Числа поля йр , удовлетворяющие уравнениям вида (1) с целыми рациональными коэффициентами s, q, n, так называемым целым уравнениям, называются целыми числами поля. Очевидно, что если само р — целое число, то все числа вида (2), у которых A = rfcl, — целые. Однако может быть, ка\< легко видеть, что знаменатель Д числа о> не равен + 1 и тем не менее число это целое, в виду только что указанной возможности, что коэффициенты тоге уравнения, которому удовлетворяет z = нр2 -{- v р -{- w, окажутся делимыми на Д, Д«, Д».
Корни уравнения, получаемого из (1) преобразованием Чирнгаузена г = = up2 -j- up -(- w', суть
z = up2 -j~ v P ~h w' z' = ep'a-r-«'p'-|-w; 2" = нр"а -j- wp
Если бы уравнение это вышло приводимым, то один из его корней оказался бы рациональным числом г. Пусть, например, нр'2-{-г>р' -j-t» = /-; тогда, вследствие однозначности формы (2), должно быть u—v = 0; w = r. Таким образом z = vo} и уравнение, которому удовлетворяет z, имеет вид (z — та)3 = 0. Итак, всякое число кубического поля либо удовлетворяет неприводимому уравнению 3-ей степени, т. е. есть кубическое число, и тогда по крайней мере один из двух коэффициентов и, v не равен нулю, или же оно рациональное число (это будет, если u = v — 0). Числа поля йр , удовлетворяющие неприводимым уравнениям 3-ей степени, называются примитивными числами поля.
Все примитивные числа поля выражаются друг через друга рационально, так что вместо исходного кубического числа р можно любое из них взять для образования того же кубического поля. Действительно, пусть z — примитивное число, и
z = ир2 -f- v р -f- w, (3)
1; (4)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика