Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

60 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Из последнего свойства вытекает, что если решетка 5 является идеалом-для максимальной решетки О, то взаимная решетка S* также является идеалом для О. * ,
В частности, решетка О* является идеалом для О, играющим весьма важную роль в теории алгебраических чисел.
Докажем несколько теорем, касающихся решеток, взаимных с идеалами максимального кольца.
Теорема 1. Норма идеала а.* равна
. 1 \D\N(u) '
где D — дискриминант максимальной решетки. Доказательство. По определению,
V(a)
V(0)
где V(a) — объем основного параллелепипеда идеала о, а V(О) — объем основного параллелепипеда максимального кольца О. Таким же образом
У (О) Из определения взаимной решетки с очевидностью следует, что
Следовательно,
что и требовалось доказать. Следствие.
V(a) V(a*)
1 :D
Теорема 2. След произведения любой точки а из а на любую точку а* из о* есть целое число. Обратно, любая точка а*, обладающая тем свойством, что след ал* есть целое число, при любом а из и входит в и*.
Доказательство. Пусть [о,, а2, . . . , а„] — базис идеала а, [а|, а'2, . . . , а„] — взаимный с ним базис идеала а*. На основании определения взаимной решетки очевидно, что 6'(а,а!) = 0, если i^=j, и равна 1, если i=j.
Пусть
а =лг,а,-|--*г2а2+ . . . -\-хпа.а точка из о,
точка из <**•
Числа xv лг2, лг8, . . . , ха н ylt yz, y3, . . . , уп — целые рациональные. Тогда 5 (оо*) = ielyl + х^уъ + . . . + хпу„
есть целое рациональное число.
Обратно, пусть 5 (а* а) есть целое число при любом а из о, в частности при a = a,, a2 ..... ая. Тогда, представив а* в виде
Ф1 + ФЪ 4- ••• +<*>«• получим, что
о1), yz = S(a* о,), . . .,ya = S(a* ал)

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика