Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

50 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
откуда следует, что формы (т(1\ т:(2\ ...,т^"'>) могут быть получены из форм (o)(D, о><2\ .. .,(о(л)) линейным преобразованием переменных
*i -= «1 ix( + ^21*2 + • • • + алх'я>
Х2 = unX'l 4- «22*2 4- • • • + «А
матрица которого Л* транспонирована с матрицей А подстановки, переводящей координаты л-векторника [1; с]>2, . ,.,фв]. В случае, если эти л-векторники являются базисами одной решетки, то ма-' трица А* вместе с матрицей А целочисленна, и определитель равен ±1.
Очевидно н обратное: если взять две системы ковариантных линейных форм (a)U), ®Wt . ..,<о(л>) и .(т^, т(2\ . ..,т<">) с определителями, не равными нулю, и такие, что (т(1\ т(2\ ..., т(л)) получается из (со^), о)(2\ .. ., (о(л>) линейным преобразованием переменных с целочисленной матрицей н с определителем, равным ± 1 , то эти системы определят базисы одной и той же решетки.
Связанные таким образом системы ковариантных форм называются эквивалентными, а множество всех эквивалентных между собой систем форм называется классом систем ковариантных форм. Таким образом, каждой решетке соответствует вполне определенный класс систем ковариантных форм с определителями, не равными нулю, и обратно, каждому классу систем ко-вариаитных форм с определителями, ие равными нулю, соответствует вполне определенная решетка.
Пусть (о>(1\ <о<8>, . . ., <о(я)) — система ковариантных форм, соответствующая некоторому базису решетки, и пусть ср (и*1*, и<8>, ..., и<"') — некоторая форма от л переменных. Очевидно, что
ср(со<1>, <о(2), ..., ®«) = F(x1,x2, ...,*„)
будет представлять собой форму той же степени от переменных^, xv ..., ха. Различным базисам одной и той же решетки, при одной и той же форме <р, будут соответствовать эквивалентные формы F, т. е. формы, переходящие одна в другую линейной подстановкой переменных с целыми рациональными коэффициентами и с определителем, равным ± 1 . так что решетке в целом этим способом сопоставляется класс эквивалентных между собой форм F.
Если при этом рассматриваемая решетка рациональна по отношению к решетке, повторяющейся умножением, а. форма ср является симметрической функцией от и(1>, и<2>, . . ., и(я), то форма /?(лг1, х2, . . . , хп) будет иметь рациональные коэффициенты, так как они будут являться симметрическими функциями координат любой точки общего положения рассматриваемой решетки, а координаты каждой такой точки суть корни некоторого уравнения л-ой степени с рациональными коэффициентами.
Важнейшими формами, связанными с такими решетками, являются формы

Вй (xv х2, . . . , х„) = и<

. . . ха) = и<1> и<2> . . .
Первую из этих форм назовем эрмитианом, вторую — формою Дирихле. Если рассматриваемая решетка рациональна по отношению к некоторой решетке, повторяющейся умножением, то .обе эти формы имеют рациональные коэффициенты, причем, если решетка — -целая рациональная по отношению к некоторой решетке, повторяющейся умножением, то коэффициенты форм будут целыми рациональными.
2. Эрмитиан представляет собою квадратичную форму от л переменных. Она будет определенной положительной, если решетка расположена в чисто

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика