Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

40 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
Идеал с называется произведением идеалов а и Ь.
Если взять два другие идеала а* и' Ь* тех же классов, как а и Ь, т. е. такие, что а* = а-Х; b* = b-fi, где X и ft — некоторые точки К„, не делители ну л», то а*-Ь* = с*, где c* = c-Xft, т. е. того же класса, как с, поэтому перемножение идеалов ведет к понятию о композиции классов.
Мы будем называть любые решетки в f(tt, подобные решеткам идеалов О, решетками классов; тогда имеет место —
Теорема 4. Произведение двух классов есть определенный класс.
Легко видеть, что умножение решеток ассоциативно; отсюда и следует теорема:
Теорема 5. Композиция классов ассоциативна.
Помножим любой идеал /.решетки О на самую эту решетку, которая есть, как мы видели, также ее идеал, а именно так называемый единичный идеал.
В виду того, что j — идеал О, от умножения точек j на точки О будут получаться точки у, а в виду того, что в О есть точка 1=(1, 1, ... , 1), так получатся все точки /', и мы имеем, следовательно, jO — j, т. е. теорему —
Теорема 6. Главный класс, т. е. решетки, подобные решетке О (а, следовательно, и решеткам любых главных идеалов), играет при композиции классов роль единицы.
Докажем еще следующую теорему.
Теорема 7. Для всякого класса идеалов О имеется обратный ему класс, т. е. такой, что произведение рассматриваемого класса на этот класс дает главный класс.
Прежде всего докажем, что единственным идеалом, умножение на который не меняет первого множителя, является сама максимальная решетка О. Пусть действительно
ab = a.
Рассмотрим совокупность всех точек пространства К„, умножение на которые превращает решетку а в ее часть. Такие точки, очевидно, повторяются сложением, вычитанием, умножением и образуют дискретную совокупность, расположенную в Кп п - мерно, ибо все точки решетки О входят в состав этой совокупности. Следовательно, эта совокупность точек есть решетка, повторяющаяся умножением. В виду того, что она содержит все точки О, она может только совпадать с О, так как О — максимальна. В виду того, что при умножении иа любую точку идеала Ь идеал а превращается в свою часть, все точки идеала Ь должны входить в О, т. е. Ь есть целый идеал.
Докажем теперь, что идеал Ь содержит среди своих точек точку 1, чего, очевидно, будет достаточно, чтобы убедиться в том, что Ь = О, ибо мы уже доказали, что Ь содержится в О, но Ь, будучи идеалом для О, будет содержать, вместе с точкой 1, все точки О. Обозначим через а.^ а2, . . . , ап базис идеала а.
Каждая из точек базиса а должна принадлежать решетке Применив это рассуждение к точкам базиса а, получим;
«2 =

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика