Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

320 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где р — род, п — степень кривой, d — число двойных точек кривой (причем
v(v— 1) v-кратиая точка принимается за -*-= — - двойных точек по вполне понятным
геометрическим соображениям).
Кривая третьего порядка может быть или нулевого, или первого рода, в зависимости от того, имеет ли она двойную точку, или нет. Нераспадающаяся кривая третьего порядка, очевидно, не может иметь больше одной двойной точки.
Кривые нулевого рода вазываются также уникурсальными кривыми.
Прежде всего решим задачу о распределении рациональных точек на уни-курсальных кривых третьего порядка, именно — докажем, что уникурсальиая кривая третьего порядка, уравнение которой имеет рациональные коэффициенты, содержит бесконечно много рациональных точек, и укажем способ для их разыскания.
Действительно, пусть кривая третьего порядка
ф(и, v) — Q
уиикурсальна, т. е. имеет двойную точку.
Координаты двойной точки, как известно, удовлетворяют уравнениям:
Все эти уравнения имеют рациональные коэффициенты. Поэтому координаты (и, v) могут быть только алгебраическими. Пусть К (и, v) — поле, получающееся присоединением чисел и и v к полю рациональных чисел. В виду того, что уравнения (*) имеют рациональные коэффициенты, они будут удовлетворяться вместе с числами и, v также и сопряженными числами (и1, v') и т. д. Отсюда заключаем, что если бы поле R (и, v) было отлично от поля рациональных чисел, то кривая Ф (и, v) = 0 имела бы больше одной двойной точки, что невозможно. Следовательно, поле R (и, v) совпадает с полем рациональных чисел и потому и, v оба рациональны.
Итак, мы доказали, что двойная точка уникурсальной кривой третьего порядка с рациональными коэффициентами имеет рациональные координаты,
Рассмотрим пучок прямых
V — V0 = t(U— «0),
проходящих через двойную точку кривой третьего порядка с рациональными угловыми коэффициентами t.
Каждая прямая этого пучка будет пересекаться с кривой Ф (и, v) = О в одной точке, кроме двойной, и эта точка будет иметь рациональные координаты. Действительно, уравнение третьей степени с рациональными коэффициентами t
Ф(и,
к решению которого приводит совместное решение уравнений кривой и прямой, будет иметь двойной рациональный корень «0, следовательно, третий корень этого уравнения будет также рационален.
Таким образом каждому рациональному значению параметра t в уравнении пучка прямых соответствует рациональная точка на кривой Ф(и, v)=Q,
Очевидно и обратное, что каждая рациональная точка на кривой /(и, f) = 0 соответствует рациональному значению параметра t, ибо угловой коэффициент прямой, соединяющей любую рациональную точку на кривой с рациональной же двойной точкой, будет рационален.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330


Математика