Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

310 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
4. Алгорифм повышения. Пусть сравнения (1) и (2) не удовлетворяются оба тождественно. Пусть, например, сравнение (1) не удовлетворяется тождественно. Обозначим через d общий наибольший делитель К, L и х§, и пусть K—d-K!\ L — dL'; x5 = At'; тогда мы будем иметь РК' -f-4- QL'^O (mod/). Если теперь -(/Г, L') = d' и K' = K"d'; L' = L'-tf, TO мы будем иметь (fl?Y) = l и, следовательно, Р/С" -)- QZ." ^ 0 (mod х'), где уже (К", ?")= 1. Если перейти от формы (А, В, С, Е) к форме (А1, В', С, Е1)
( г w \
„|, где aK"-}-^L"=l, то мы получим
B'P'2Q'+C'P'Q'2-{-E'Q'3=l, где Р' ^ О (mod-//), так как Р' =
Положим Р' = Р_.г'_н А==Л'-х'3; В=В'-х'2; С—С-к'; Ё= Е, тогда мы получ им уравнение (Л, В, С, ?)=!, на решение которого сводится решение заданного уравнения (А, В, С, Е) = 1 . Форма (А, В, С, Е) имеет в х'6 раз больший дискриминант, чем форма (А, В, С, Е), и ч! =?^+1, так как мы предположили, что сравнение (1) не удовлетворяется тождественно. От формы
(А, В, С, Е) мы аналогично перейдем к форме (А, В, С, Е) и т. д. Этот процесс может оборваться, только если либо на каком-нибудь шагу соответственная форма не будет иметь целого разложения в собственном кольце, и в этом случае уравнение (А, В, С, Е)=\ не имеет решений, или если на каком-нибудь шагу сравнения (1) и (2) окажутся удовлетворяющимися тождественно, в этом случае уравнение (А, В, С, Е) = 1 либо вовсе не имеет решений, либо оно имеет два решения, которые мы и найдем на этом шагу алгорифма.
5. Первый случай, когда уравнение Ф (X, Y) = l имеет одно и только одно решени'е. В этом случае, который встречается очень часто, в силу теоремы п. 3 алгорифм повышения нигде не кончится. Дальнейшее изучение этого весьма замечательного обстоятельства мы здесь производить не будем.
6. Второй случай, когда уравнение Ф (X, Y)~ 1 имеет покрайней ме ре два решения. В этом случае, как это будет ясно из геометрического соображения, которое мы разберем в следующем пункте, на некотором шаге алгорифма повышения сравнения (1) и (2) удовлетворятся тождественно.
7. Приближение к решениям при помощи алгорифма повышения. Пусть X, Y — все пары целых рациональных чисел. Рассмотрим их как точки по отношению к некоторой зафиксированной координатной системе; тогда они составят параллелограмматическую решетку точек. Те из этих точек (Р, Q), целые координаты которых удовлетворяют сравнению РК' -f- QL" == = 0 (mod 7.'), т. е. удовлетворяют неопределенному уравнению РК" -\- QZ."=ftt', где t — целое рациональное число, образуют, очевидно, подрешетку этой решетки. Всякий шаг повышения при помощи нашего алгорифма ведет каждый раз к иодрешетке предыдущей решетки, основной параллелограмм которой имеет, по крайней мере, в два раза ббльшую площадь и которая имеет с предыдущей общую точку (0, 0). Если имеется одно решение (Я,, Q,), то весь этот процесс сводится к выбрасыванию из решетки X, Y каждый раз рядов точек, параллельных ряду (0, 0) (Pv Q)r Этот процесс может иттн без конца, как это и будет, как мы это показали, в случае, когда есть одно и только одно решение. Если же есть два решения: (Р,, QJ) и (Р2, Q2), то площадь основного параллелограмма получаемых решеток не может превзойти площади параллелограмма, построенного на точках (0, 0), (Р,, Q,), (Pa, Q2), так как эти точки будут лежать во всех этих решетках, и поэтому алгорифм должен кончиться. Если мы будем в каждой подрешетке находить ближайшую к (0, 0) ее точку, то, если решение только одно, оно встретится в ряду этих минимумов.
8. Вычисление чисел X и ft для повышенных форм. Пусть X и }1 уже вычислены для заданной формы Ф(Х, Y) тем способом, который

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330


Математика