Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

30
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
имеет число измерений, равное числу измерений некоторой биссектрисы Кт' если же Q приводима, то т может быть и не кратным л, и даже меньше л.
3. Подгруппы группы О и максимальные подрешетки
решетки Cl '
Пусть Н—некоторая подгруппа группы О порядка 3, так что /ra = fi3, где ji — целое. Рассмотрим, в какие оси переходит 1-ая ось Кт при помощи
всех подстановок Н. В виду того, что группа перестановок осей 1,2.....т
пространства Кт правильная, это будут различные 8 осей 1, 2, ...,&. Ось 2-ая при помощи подстановок Н, следовательно, переходит тоже лишь в эти же 1-ую, 2-ую,... и т. д. до 8-ой оси. Таким образом, эти оси переходят при помощи подстановок Н только друг в друга. Аналогично получим, если исходить от 8 -|-1 оси в 5 расположениях номеров осей Кт, соответствующих Н, квадрат со стороной 8, составленной из номеров 3 следующих осей Кт, переводимых подгруппой Н только друг в друга, и т. д.
С J
Н
11, 2, 3.
2, ...
3, ...
Л8,
. т
\ т
Очевидно, что совокупность всех подстановок, подгруппы Н оставляет на месте те и только те точки пространства Кт, которые соответствуют ^-мерной биссекториальной плоскости Кт, которая получается, если приравнять между собою координаты в отдельных квадратах подгруппы Н.
Теорема 3. Всякой подгруппе Н группы G соответствует ^-мерная максимальная подрешетка решетки П, и наоборот.
Действительно, если мы возьмем любую точку Г1, сделаем над ней все 3 осеподстановок Н и сложим все 8 получившихся точек, то получится точка Г1, лежащая в биссекториальной плоскости, соответствующей подгруппе Н. Если мы это сделаем для всякой точки А, то получим ji-мерную решетку в этой биссекториальной плоскости, так как можно взять такие точки Г1, чтобы суммы координат в отдельных комплексах были все различны и не равны нулю, т. е. чтобы получилась точка общего в соответственной биссектрисе положения.
Итак, всякой подгруппе Н соответствует подрешетка, а следовательно, и максимальная подрешетка решетки ?1, повторяющаяся умножением, лежащая в биссектрисе соответствующей Н и имеющая то же измерение, что и эта биссектриса. Измерение этой подрешетки равно индексу подгруппы Н по отношению к группе О.
Предположим теперь, что, наоборот, в нормальной решетке Cl есть ji-мерная подрешетка и, повторяющаяся умножением, и пусть а — точка общего в ней положения. Пусть Н—подгруппа всех подстановок О, оставляющих а на месте. Число подстановок в Н не больше, чем Ь, так как, например, 1-ая координата точки а может занимать после этих перестановок не более чем 8 мест, тех, на которых координаты а равны ее 1-ой координате, а в О нет различных подстановок, которые оставляют некоторую координату на месте. С другой стороны, число подстановок в Н и не меньше, чем Ь, так как иначе при

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика