Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

290 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
где
•Найдя все решения XY всех этих уравнений (2(.), мы найдем все решения X, Y уравнения (1), у которых X взаимно простое с о, полагая У=аУ-\-Ь{Х, и всё решения, у которых X ие взаимно простое с о, сокращая, как указано в начале, на о, из решений сокращенных уравнений, в которых уже сокращенное X — взаимно простое с сокращенным о, причем эти уравнения мы опять сведем на уравнения типа (2,).
2. Сведение вопроса о числе представлений на представление единицы целой формой. Итак, вопрос о нахождении всех представлений кубической двойничной формой (А, В, С, Е) заданного числа о сводится на вопрос о нахождении всех представлений числа 1 конечным числом таких же форм, а следовательно, и вопрос о числе представлений о исходной формой также сводится к -вопросу о числах представлений 1 этими формами. Пусть (А, В, С, Е) одна из таких форм. Одно из двух: либо она не представляет 1 , и тогда число представлений числа 1 равно нулю, либо она число 1 представляет, т. е. существуют такие значения х—$, у = $, что A$s -\- В$*$ -\--\- Ср82 -J- Е& = 1 , но тогда JJ и 8 взаимно просты, и можно подобрать такие также целые рациональные числа а, у,- чтобы было а8 — ру=1; если теперь преобразовать форму (А, В, С, Е) целочисленной унимодулярной подстанов-
кой ( vj , то последний коэффициент преобразованной формы будет равен
А$3-\-В$Ч-\-С$&-\-Ё$3, т. е. будет равен 1. Преобразованную форму мы будем писать так: (я, — q, s, 1). Форму,- у которой одни из крайних коэффициентов (мы будем всегда предполагать, что четвертый) равен 1, мы будем называть „целой". Итак, если форма (А, В, С, Е) имеет представления числа 1, то она эквивалентна некоторой целой форме, причем число представлений ею числа 1 равно числу представлений числа 1 этой целой формой. Вопрос о числе представлений любого числа кубической двойничной формой мы, таким образом, свели на вопрос о числе представлений 1 целой формой. Мы не говорим здесь, что если форма (А, В, С, Е) дана, то мы можем найти форму (я, — д, s, 1), а только, что если форма (А, В, С, Е) имеет представления 1, то целая форма («, — д, s, 1), ей -эквивалентная, существует.
3. Сведение вопроса о числе представлений на разыскание двухчленных единиц. Из тождества
А*я — X*Yq-\- XY*s-\- Y* = (Ар + Y) (X? -f- Y) (Xp"-\- Y),
где р, р', р" — корни кубического уравнения р3 = sp2 -\- др -\- п, мы видим, что каждому решению уравнения
' пХ* — qX*Y-\-aXY*-\-Y*=l (3,)
соответствует в кольце О(р)=[р2, р, 1] положительная, т. е. с нормой -|- 1, единица, имеющая вид Ар -\- Y, т. е. двухчленная положительная единица, и обратно.
В случае, когда D = s2q2 — 1 8sqn -j- 4q3 — 4s3n — 27 n2 < 0, который мы единственно будем дальше рассматривать, т. е. когда один корень р вещественен, а два других р', р" — комплексно сопряженные, все положительные единицы кольца О(р) суть степени с целыми рациональными показателями одной так называемой основной единицы этого кольца. Мы будем, как и раньше, называть положительной прямой основной единицей ту основную единицу ев,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330


Математика