Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

280 О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ
-1 —
Обозначим е03 = 7]0, е3=т). Из нашего рассуждения следует, что
Введем в рассмотрение уравнения, корнями которых являются
Эти уравнения имеют вид:
18 = «о f/T Чо — *о J/Г Чо+ 1.
1? = «iVT Ч? — *i/*"4iH- ! и т. д. Между коэффициентами этих уравнений выполнены соотношения
,.
Для единиц искомого вида as=0.
Покажем теперь, что а, и ?4 при s~^\ делятся на 22У-1 или, если этого нет, то решений задачи не существует. Для этого рассмотрим несколько случаев.
Пусть /=/g8 — нечетное число- и а0 — нечетное. Тогда, очевидно, все а, — нечетные, и равенство as=0 невозможно. Пусть теперь l=fgz нечетное число, д0 — четное, но Ь0 — нечетное. В этом случае все bs — нечетные и все as = 2 (mod 4). Следовательно, и в этом случае равенство.ау = 0 невозможно. Если же а0 и Ь0 — оба четные, то at, Ьг делятся на 8, а2, Ьъ делятся на 32 и т. д.
Наконец, если /=/g8 — четное число, то а1? Ьг — оба четные, av Ь2 делятся на 8 и т. д., as, bs — оба делятся на 22*"1.
Допустим теперь, что aj+1 = 0 при s -)-!>• — ^~ Это приводит нас к неопределенному уравнению
4a = 0.
,
Из этого уравнения следует, что 4at делится на g. Так как кроме того at делится на 2я*"1, то можно быть уверенным в том, что as делится на 22s~2g. Положим as=2**-2ga. После подстановки и сокращения на 2g придем к уравнению
28*- » /2Я4 _ 2**- s ачъ, + Ь\ -\- 2я*- 1 а = О, откуда
(bs — 2"-*a2/)2= 2«*-»a (2«*-8 p as — 1).
Числа 22*~1а и 2е*"8/2 а3 — 1 взаимно просты и их произведение равно полному квадрату. Следовательно,
Знаки здесь находятся в соответствии. Верхний знак, очевидно, нужно отбросить. Подставив а= — 2и2 во второе равенство, получим
откуда

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310 320 330


Математика