Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

ГЛАВА VI
О НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ 3-Й СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ А. РЕШЕНИЕ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Некоторые важные задачи теории кубических иррациональностей эквивалентны задаче о решении в целых рациональных числах неопределенного уравнения 3-й степени вида f(X, Y) = a, где/—заданная кубическая двойничная форма с целыми рациональными коэффициентами а, Ь, с, d, a a — заданное целое рациональное число. К решению такого неопределенного уравнения, например, сводится вопрос о том, имеется ли в данном кольце целых кубических чисел степенной базнс, в частности, имеет ли данное кубическое * поле степенной базис. На такое же уравнение сводится связанный с предыдущим вопрос о том, имеются ли целые кубические уравнения с заданным дискриминантом и т. д., но и некоторые замечательные задачи элементарной теории чисел также эквивалентны задаче о решении такого уравнения. Такова, например, задача о распределении квадратов и кубов в натуральном ряду чисел. Вопрос идет о следующем: если задать некоторое положительное целое рациональное число k, то имеются ли в ряду квадратов и кубов целых рациональных чисел сколь-угодно далеко такие числа, разность между которыми не больше k, или же можно указать в натуральном ряду такое место, что для всех квадратов и кубов, следующих за этим местом, разность между ними уже больше k. Теория неопределенных уравнений 3-й степени показывает, что верно последнее, причем оказывается, что число таких квадратов и кубов, разность между которыми не больше заданной величины k, может быть ограничено в зависимости от k. Любопытно, однако, что все до сих пор известное не дает еще возможности найти сами все такие квадраты и кубы..
Теория неопределенных уравнений/(ЛГ, К) = а третьей степени с двумя неизвестными, т. е. теория кубических двойничных форм пока еще весьма несовершенна. Действительно, до сих пор полностью не решен еще даже вопрос о представлении чисел такими формами. Правда, замечательная теорема, данная Туэ, показывает, что число таких представчений всегда конечно. Но в смысле тех требований, которые надо предъявлять ко всякой арифметической теории, эта теорема может быть рассматриваема лишь как первый ftiar, который ведет к постановке дальнейших вопросов.
Первый вопрос, который представляется, состоит в определении точной верхней границы для числа представлений.
Второй вопрос состоит в нахождении конечного и, если можно, удобного на практике, алгорифма, который в каждом данном случае давал бы возможность либо найти все представления, если они есть, либо показать, что представлений нет, если их не существует.
Первый вопрос вполне решен в работе Б. Делоне „О числе представлений числа кубической двойничной формой отрицательного определения" (Изв. АН за 1922 г.) по крайней мере для случая, когда определитель формы отрицателен. Что касается второго вопроса, то и он для этого же случая практически также решен Б. Делоне в работе .Ober den allgemelnen Algorithmic der

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330


Математика