Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Делоне Б.Н. Теория иррациональностей третьей степени
 
djvu / html
 

20 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК, ПОВТОРЯЮЩИХСЯ УМНОЖЕНИЕМ
коэффициентом, равным 1, причем, так как яа из этих координат равны нулю, ла младших коэффициентов этого уравнения равны нулю, а (л2 -{- 1)-й уже не
равен нулю, т. е. /ij первых координат точки ф: ф(1),ф(2),___,ф(я<), неравные
нулю, удовлетворяют уравнению ф"«-|-а1ф'1'~1-|- — -Ьая,-1 Ф~Ьая,^0 с целыми рациональными коэффициентами а{) у которого ant=?0, и, следовательно, точка 6 = — ф"<— а^"»-1— ... — a i Л, П3 \
ваемой решетке [со], имеет координаты (а, а, ... ,а, 0, 0, ... ,0/, где а = ап — целое рациональное число. Рассмотрим совокупность точек рассматриваемой максимальной решетки [to] вида 6-а>, где а> пробегает все точки этой решетки. Все эти точки лежат в пространстве К , причем все они, очевидно, лежат в одном и том же сигнатурном сечении КП1, так что их можно рассматривать в некотором одном /?nijV и уравнения, которым удовлетворяют координаты их в К„, будут, так же как для ф, л-го порядка с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Все эти точки 0-ю, следовательно, лежат в Wai v Но совокупность в • а>, очевидно, повторяется сложением н вычитанием и, следовательно (по лемме 1 „Приложения"), есть решетка в Ra , а следовательно, и решетка в К .
Решетка эта я^мерна'в Knj, так как, если точка to — общего положения в К„, то в-со— общего в К„ положения, и, следовательно, уже векторы 6-to, (6-to)2, ... .(б-ш)"1 лежат в А*Я1 /Zj-мерно, так как определитель из их координат не равен нулю. Обозначим через г; точку пространства Кп, имеющую коорди-
П, П,
иаты 1, 1, ... ,1,0, 0, ... ,0. В виду того, что 6[to], как мы сейчас показали, Oj-мерная решетка в КЛг, то очевидно, что и jj[to] — также я^мерная решетка точек в К„, а именно, решетка а~1-6[а>], где а тут мы рассматриваем как число.
Решетка J)[u>] повторяется в КП1, очевидно, умножением, так как Jjto-iju» =
;=j]u)0) = j]G). Будем обозначать точку ija> через «>. Точка & получается из соответственной точки to, если оставить первые п^ координат точки ю без изменения, а остальные я2 положить равными нулю. Точка & есть, следовательно, ортогональная проекция точки to на координатное подпространство #„_. Мы получили таким образом, что совокупность ортогональных проекций всех точек to заданной решетки на подпространство К„ есть я^мерная решетка [ш] в этом подпространстве. Проекции & могут, вообще говоря, уже не быть точками решетки [to]. Покажем, однако, что если решетка [to] максимальна, то эти проекции о» суть также ее точки. Действительно, рассмотрим совокупность всех сумм н разностей точек шиш самих с собою и друг с другом. Эта совокупность будет, очевидно, также решеткой в К„, потому что, как все точки to, так и все точки & можно рассматривать лежащими в /?я>т, и они во всяком случае содержатся все в решетке I — I (тут а в знаменателе надо рассматривать как число). Обозначим эту решетку [to]*. Решетка эта повторяется умножением, так как
К + йаЖ + UJ = "h^S + Ш1й4 + <»8U2 + U2U4.
= tOjtOa -f- (Bj«>4 -|- а решетки [а>] и [ш] повторяются умножением. Если, следовательно, [а>] максимальна, то она содержит [<Ь].
Будем обозначать через 85 'разность 'to — «>, где to любая точка решетки [to], а ш ее ортогональная проекция на пространство Kai- Все точки 3, очевидно, лежат в подпространстве Kttl в одном н том же сигнатурном сечении, т. е. их можно рассматривать в соответственном вещественном пространстве /?„-,- Но совокупность to очевидно повторяется сложением н вычитанием и, следовательно, есть додрешетка решетки [to], а именно яа-мерная решетка, лежащая в К„„ н состо-

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330


Математика